Sur la croissance des fonctions analytiques et de leurs dérivées. (Q5917035)

Man habe in der komplexen \(z\)-Ebene eine unendliche Menge von Kreisen \(K\) mit dem Radius \(R\) und dem Zentrum \(u\). Es werde angenommen, daß es für \(u \to\infty\) immer noch Kreise unserer Menge gebe. In jedem der Kreise sei eine eindeutige analytische Funktion \(f(z) \) definiert, die die Eigenschaft hat, daß für hinreichend großes \(|z|\) und beliebige \(\varepsilon > 0\) und \(\eta > 0\) gilt: \[ |f(z)|\cdot e^{-(1+\varepsilon)\mu(|z|)} <\eta, \] wobei \(\mu (x)\) eine differenzierbare monotone Funktion der reellen Veränderlichen \(x\) ist, für die \(\mu(x)\to\infty\) gilt, wenn \(x \to\infty\), und die noch gewissen anderen Bedingungen recht allgemeiner Art genügt. (Man kann z. B. \(\mu(x) = a (\log x)^p\) nehmen, wobei \(a\) und \(p\) zwei positive Konstanten sind.) -- Verf. beweist dann, daß für alle Punkte \(\xi\) aus Kreisen \(C\), die in den Kreisen \(K\) enthalten und zu ihnen konzentrisch sind, \[ |f'(\zeta)|\cdot e^{-(1+\varepsilon)\mu(|\zeta|)} <\eta \] gilt.