Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme. (Q5917062)

Verf. betrachtet Differentialgleichungssysteme der Form \[ \frac{dx_\nu}{dt}=\sum_{\mu=1}^n f_{\nu\mu}(t)x_\mu\quad (\nu=1,2,\ldots,n), \tag{1} \] wo \(t\) das einseitig unendliche Intervall \(t\geqq 0\) durchläuft, während die Koeffizienten \(f_{\nu\mu}(t)\) und die Integrale \(x_\nu=x_\nu(t)\) beliebige komplexe Werte haben dürfen; die \(f_{\nu\mu}(t)\) seien außerdem stetig und beschränkt. Bildet man die Zahl \[ \gamma= \limsup_{t\to 0}\frac 1t \log\sum_{\nu=1}^n|x_\nu(t)| \tag{2} \] für alle möglichen Integralsysteme von (1), so ergeben sich höchstens \(n\) verschiedene Werte für \(\gamma\), etwa \[ \gamma_1<\gamma_2 < \cdots < \gamma_n. \] Im Falle konstanter Koeffizienten \(f_{\nu\mu}(t)=a_{\nu\mu}\) ist \(\gamma\) immer gleich dem reellen Teil einer Wurzel der charakteristischen Gleichung \[ \left| \begin{matrix} \l \;& & \l \\ a_{11}-\varrho & \ldots & a_{1n} \\ \cdot \;\cdot \;\cdot \;\cdot &\cdots&\cdot \;\cdot \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}-\varrho \end{matrix} \right| \] Ist für ein Integral \(x_1(t)\), \(x_2(t)\), \dots, \(x_n(t)\) gerade \(\gamma - \gamma_\lambda\), so heißt \(\gamma_\lambda\) die Ordnungszahl des Integrals. Die Anzahl \(e_1\) der linear unabhängigen Integrale mit der Eigenschaft, daß für sie und ihre linearen Zusammensetzungen die Ordnungszahl \(\gamma_1\) ist, heißt \textit{Vielfachheit} von \(\gamma_1\). Ist \(e_1+ e_2\) die Anzahl der linear unabhängigen Integrale mit der Eigenschaft, daß für sie und ihre linearen Zusammensetzungen die Ordnungszahl \(\gamma_1\) oder \(\gamma_2\) ist, so wird \(\gamma_2\) die Vielfachheit \(c_2\) zugeschrieben; usw. Es ist dann die Anzahl der Ordnungszahlen des Systemes (1), wenn jede ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird, genau \(n\). Für die Summe der Ordnungszahlen gilt die Abschätzung \[ \sum_{\nu=1}^n \gamma_\nu \geqq \limsup_{t\to \infty}\frac 1t \int\limits_0^t \sum_{\lambda=1}^ n \Re (f_{\lambda\lambda}(\tau))\,d\tau. \] Sind die Koeffizienten \(f_{\nu\mu}(t)\) Konstanten oder streben sie wenigstens für \(t\to \infty\) gegen endliche Grenzwerte, so kann in (2) der lim sup durch den lim ersetzt werden. In anderen Fällen braucht aber dieser lim nicht zu existieren, wie in \S\ 2 durch ein Beispiel belegt wird. Ist \[ \frac{dy_\nu}{dt}=-\sum_{\mu=1}^n f_{\mu\nu}(t)\cdot y_\mu\quad (\nu= 1, 2,\ldots,n) \tag{3} \] das zu (1) adjungierte System, sind die Ordnungszahlen von (1) nach abnehmender Größe geordnet \[ \gamma_1 \geqq \gamma_2 \geqq \cdots \geqq \gamma_n, \tag{4} \] die Ordnungszahlen von (3) nach zunehmender Größe geordnet \[ \delta_1 \leqq \delta_2 \leqq \cdots \leqq \delta_n, \] so ist stets (\S\ 3) \[ \gamma_\nu + \delta_\nu \geqq 0 \quad \text{für}\quad \nu=1,2\ldots,n. \tag{5} \] Wenn die \(f_{\nu\mu}(t)\) Konstanten sind oder wenigstens für \(t \to \infty\) gegen endliche Grenz\-werte streben, steht in (5) das Gleichheitszeichen; daß dies nicht ausnahmslos der Fall zu sein braucht, wird durch ein Beispiel belegt. Genauer ergibt sich: In (5) stehen dann und nur dann lauter Gleichheitszeichen, wenn der Grenzwert \[ \lim_{t\to \infty} \frac 1t \int\limits_0^t \sum_{\lambda=1}^n \Re (f_{\lambda\lambda}(\tau))\,d\tau \] existiert und gleich \(\sum\limits_{\nu=1}^n \gamma_\nu\) ist (\S\ 4). In \S\ 5 und \S\ 6 wird neben dem System (1) noch ein abgeändertes System \[ \frac{dx_\nu}{dt}=\sum_{\mu=1}^n [f_{\nu\mu}(t)+\varphi_{\nu\mu}(t)] x_\mu\quad (\nu= 1, 2,\ldots,n) \tag{6} \] betrachtet, bei welchem \(\lim\limits_{t\to \infty}\varphi_{\nu\mu}(t)=0\) ist. Im Falle \(n=1\) haben (1) und (6) dieselben Ordnungszahlen; für \(n > 1\) trifft dies, wie in \S\ 5 ein Beispiel lehrt, nicht immer zu. Dieses eigentümliche Verhalten gibt Veranlassung zur Bildung des Begriffes der \textit{stabilen} bzw. instabilen Ordnungszahl: Hat das System (1) die Ordnungszahlen (4), das abgeänderte System (6) die Ordnungszahlen \[ \gamma_1' \geqq \gamma_2' \geqq \cdots \geqq \gamma_n', \] so heißt \(\gamma_k\) \textit{stabil}, wenn jedem positiven \(\varepsilon\) ein positives \(\delta\) so zugeordnet werden kann, daß für \(|\varphi_{\nu\mu}(t)|\leqq \delta\) stets \(|\gamma_k'- \gamma_k|<\varepsilon\) ist; andernfalls heißt die Ordnungszahl \(\gamma_k\) \textit{instabil}. Nach dem Gesagten können kleine Abänderungen der Koeffizienten von (1) zu großen Änderungen der Ordnungszahlen führen; deren numerische Berechnung ist also nicht einfach. In \S\ 6 wird in diesem Zusammenhang folgendes gezeigt: Satz 6: Ist \[ \lim_{t\to \infty}f_{\nu\mu}(t)= 0\quad \text{für}\quad \nu\neq \mu, \tag{7} \] ferner bei geeigneter Wahl der Konstanten \(c\) \[ \Re(f_{11}(t))\geqq \Re (f_{\lambda\lambda}(t))+c \] für hinreichend große \(t\) und \(\lambda=2,3,\ldots, n\), so ist die größte Ordnungszahl stabil und hat den Wert \[ \limsup_{t\to \infty}\frac 1t \int\limits_0^t \Re (f_{11}(\tau))\,d\tau. \] Satz 7: Gilt (7), und ist außerdem bei geeigneter Wahl der Konstanten \(c\) \[ \Re(f_{\nu-1,\nu-1}(t)-f_{\nu\nu}(t)) \geqq c \] für hinreichend große \(t\) und \(\nu = 2, 3,\ldots, n\), so sind die Ordnungszahlen einfach die Zahlen \[ \limsup_{t\to \infty}\frac 1t \int\limits_0^t \Re (f_{\nu\nu}(\tau))\,d\tau=\gamma_\nu\quad (\nu = 1,2,\ldots, n). \]