Potentially regular point sets. (Q5917099)

Verf. nennt einen separablen metrischen Raum \(S\) ``potentiell regulär'', wenn für jeden Punkt \(p\) von \(S\) eine monoton abnehmende Folge von Umgebungen \(U_i\) (\(i = 1, 2,\ldots \)) von \(p\), deren Begrenzungen \(B_i\) endliche Punktmengen sind, existiert, so daß \[ p= \prod _i (U_i+B_i) \] ist. Für kompakte oder im kleinen kompakte Räume stimmt diese Definition mit dem in der Kurventheorie gebräuchlichen Begriff der Regularität überein. Analog wie in der Kurventheorie wird auch für potentiell reguläre Räume die (endliche) Ordnung eines Punktes definiert. Im ersten Teil der Arbeit wird der folgende Satz bewiesen: Ein zusammenhängender potentiell regulärer separabler metrischer Raum \(R\) läßt sich eineindeutig und stetig auf einen zusammenhängenden regulären separablen metrischen Raum abbilden, so daß bei dieser Abbildung die Eigenschaft einer endlichen Punktmenge, den Raum zwischen zwei gegebenen Punkten zu zerlegen (somit insbesondere die Ordnung eines Punktes) erhalten bleibt. Im zweiten Teil werden zusammenhängende Mengen behandelt, in denen je zwei Punkte durch einen Punkt voneinander getrennt werden können; Verf. nennt sie ``completly partitionable''. Dann und nur dann ist eine Menge \(M\) (in einem separablen metrischen Raum) ``completly partitionable'', wenn sie eineindeutig und stetig auf eine Teilmenge einer azyklischen Kurve abgebildet werden kann. Ist \(M\) außerdem regulär, so ist die Umkehrung der Abbildung ebenfalls stetig, und es gilt: Die Regularität von \(M\) ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(M\) einer Teilmenge einer azyklischen Kurve homöomorph sei.