Über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden. (Q5917191)

Verf. zeigt: Mit ganzem \(r\geqq 6\) und positiven reellen \(\alpha_1, \ldots, \alpha_r\) derart, daß für \(2 \leqq \varrho \leqq r\) mindestens einer der Quotienten \[ \dfrac{\alpha_{\varrho}}{\alpha_1} \] irrational ist, sei \(Q(u)\) eine quadratische Form in den \(r\) Veränderlichen \(u_1, \ldots, u_r\) von der speziellen Gestalt \[ Q (u) = \alpha_1u_1^2+\cdots +\alpha_ru_r^2. \] Ferner zähle \(A_Q (\xi)\) für reelles positives \(\xi\) die in dem \(r\)-dimensionalen Ellipsoid \[ Q(u)\leqq \xi \] gelegenen Gitterpunkte ab, und es sei gesetzt: \[ P_Q(\xi) = A_Q(\xi)- \dfrac{\pi^{\tfrac{r}{2}} \xi ^{\tfrac{r}{2}}} {\sqrt{\alpha _1\ldots \alpha_r}\varGamma \biggl(\dfrac{r}{2}+1\biggr)}. \] Dann gilt die (nach \textit{A. Walfisz} unverbesserliche) Abschätzung \[ P_Q(\xi) = o\biggl(\xi^{\tfrac{r}{2}-1}\biggr). \] Der Beweis schließt sich unmittelbar an an eine 1928 unter gleichem Titel erschienene Abhandlung des Verf. (Math. Ann. 100, 699-721; F. d. M. 54, 203 (JFM 54.0203.*)), in der u. a. gezeigt wird, daß für \(r \geqq 4\) und beliebig positives \(\varepsilon\), von einer \(\alpha_\varrho \)-Menge vom \textit{Lebesgue}schen Maße Null abgesehen, stets \[ P_Q(\xi) = O\biggl(\xi^{\tfrac{r}{4}+\varepsilon}\biggr ) \] gilt; es handelt sich um das \textit{Hardy}sche Verfahren, das von dem Zusammenhang des Problems mit der Frage nach den Entwicklungskoeffizienten gewisser Thetafunktionen ausgeht. In der vorliegenden Abhandlung erreicht der Verf. durch Einführung eines mit \(A_Q (\xi)\) zusammenhängenden Integrals, daß Konvergenzschwierigkeiten hinsichtlich gewisser Integrale fortfallen.