Sur la meilleure approximation des fonctions analytiques et leurs points singuliers. (Q5917224)

Verf. gibt zunächst eine kurze Zusammenfassung bekannter Resultate über die beste Approximation und gelangt dann zu einem Kriterium dafür, daß eine im Kreise \( | z | < R\) (\(R > 1\)) reguläre Funktion \(\varphi (z)\) genau eine Singularität auf dem Rande des Konvergenzkreises \(| z | = R\) hat: Sei \(z = e^{i \psi} x^2\) und \[ \varrho (\psi) = \varlimsup_n \root n \of {E_n \varphi (e^{i \psi}x^2)}, \] wobei \(E_n\) die Abweichung des besten Approximationspolynoms \(n\)-ten Grades von \(\varphi (z)\) auf dem Intervall \((-1, + 1)\) bezeichnet; \(\varphi (z)\) hat genau eine Singularität auf dem Kreise \(| z | = R\), wenn \[ \text{Min} \;\;\varrho (\psi) = \frac 1{\sqrt{R+1} + \sqrt{R}} \] ist. Die Umkehrung gilt, wenn \(\varphi\) in \(| z | < R + 1\) nur eine Singularität hat. Die Bedingung \[ \varrho (\psi) = \frac 1{\sqrt{R-1} + \sqrt{R}} \] ist ein Kriterium dafür, daß der Konvergenzkreis natürliche Grenze der Funktion \(\varphi (z)\) sei.