Basic knowledge of number theory. An introduction to numbers and number ranges (Q5917561)

Eigentlich ist dieses Buch die Vereinigung zweier Bücher, denen man die Titel ``Aufbau des Zahlensystems'' (Kap. 1--6 sowie 10--12) bzw. ``Elementare Zahlentheorie'' (Kap. 7--9 und 13--14) geben könnte. Da diese beiden Gebiete nicht zu weit voneinander entfernt liegen, ist ein solches Vorgehen natürlich legitim; wichtig und geeignet für Erstsemester sind diese beiden Gebiete allemal. Hierbei reicht das Spektrum der behandelten Themen von den grundlegenden Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen bis hin zu so anspruchsvollen Themen wie der Riemannschen Zetafunktion (letzteres naturgemäß, ohne in analytische Details zu gehen). Zunächst mag eine Aufzählung des Inhalts der einzelnen Kapitel einen kleinen Eindruck vom Umfang des behandelten Stoffs geben. Im ersten Kapitel werden die Grundlagen gelegt, u.a. Mengen, Aussagen und Beweisverfahren betreffend, aber auch Bemerkungen zum richtigen mathematischen ``Slang'' gemacht. Natürliche Zahlen und damit zusammenhängende Themen (Induktion, Peano-Axiome usw.) sind Gegenstand des zweiten Kapitels. Im dritten Kapitel werden Zahldarstellungen behandelt, im vierten und fünften Teilbarkeitsfragen und Primzahlen. Die Erweiterung der natürlichen zu den ganzen Zahlen wird im sechsten Kapitel vorgenommen. Das siebte Kapitel ist linearen Kongruenzen gewidmet, das achte quadratischen Kongruenzen (bis hin zum quadratischen Reziprozitätsgesetz); diese Kapitel gehören zum ``zah\-len\-the\-o\-re\-ti\-schen'' Teil. Der am meisten ``algebraisch orientierte'' Teil ist das folgende neunte Kapitel über Ringe, insbesondere Integritätsringe und Hauptidealringe. Richtig ``zur Sache'' geht es dann im zehnten, elften und zwölften Kapitel, in denen rationale, reelle und komplexe Zahlen behandelt werden. Die Erweiterung von den rationalen zu den reellen Zahlen im elften Kapitel erfolgt über die übliche Äquivalenzklassenbildung rationaler Cauchyfolgen; dies ist vielleicht der didaktisch klügste Zugang, weil er nicht den großen formalen Ballast der Dedekindschen Schnitte erfordert und auch die technischen Probleme algebraischer Operationen auf Intervallschachtelungen vermeidet. Die letzten beiden Kapitel sind wieder rein zahlentheoretisch ausgerichtet; in ihnen geht es um einige zahlentheoretische Funktionen (wie z.B. die Eulersche Phi-Funktion), aber auch um Anwendungen elementarer Teil\-bar\-keits\-aus\-sa\-gen auf kryptographische Probleme und Codierungsverfahren. Dies ist bekanntlich ein sehr aktuelles Gebiet, mit dem sich Zahlentheoretiker endlich einmal für ihre abstrakte Kunst in der Öffentlichkeit rechtfertigen können (und neuerdings sogar Drittmittel bekommen). Im dreizehnten Kapitel machen die Autoren einige Bemerkungen zur Riemannschen Zeta-Funktion, einschließlich ihrer Bedeutung für Erkenntnisse über Primzahlverteilungen. Das Buch schließt mit einem (ziemlich knapp gehaltenen) Stichwort-Index; dagegen fehlt leider ein Symbol-Index, der Studienanfängern ohne Routine in Bezeichnungsweisen sicher geholfen hätte und in nachfolgenden Auflagen berücksichtigt werden sollte. Das Buch ist sehr verständlich geschrieben, und die Autoren haben sich mit ihrer großen Sorgfalt das Leben schwer und damit dem Leser leicht gemacht. Das sollte eigentlich immer so sein, aber leider gibt es ja viele Bücher auf dem Markt, sogar für Anfänger, bei denen es umgekehrt ist. Es gibt nur sehr wenige Druckfehler und Ungenauigkeiten; z.B. sollte es in der Erläuterung von Satz 13.4.1 besser ``die Funktion \(p\)'' statt ``die Funktion \(p(n)\)'' heißen. Weiter ist die falsche Schreibweise von Autorennamen (etwa in [1] im Literaturverzeichnis) zu bemängeln. Auch optisch ist das Buch gut gelungen: beispielsweise ist die Absetzung aller Definitionen, Sätze, Beweise und Beispiele durch eine waagrechte Linie eine gute Hilfe, die das Lesen angenehmer macht. Positiv anzumerken ist schließlich noch, dass die Darstellung nicht durch Formalismen überfrachtet wird, sondern die Autoren in gut formulierten deutschen Sätzen sagen, was sie wollen. ``Oftmals ist es gerade nicht die formale Schreibweise, die zum mathematischen Verständnis beiträgt'', schreiben sie selbst zu Beginn, eine Erkenntnis, die sich manche ihrer Didaktikerkollegen zu Herzen nehmen sollten. Sie scheuen sich auch nicht vor pointierten Formulierungen wie zum Beispiel: ``Dieser Satz ist, um es locker auszudrücken, ganz schön heftig!'' oder ``Der nun folgende Abschnitt ist wirklich nur etwas für Hartgesottene!'' Man glaubt an solchen Stellen, in einer Vorlesung zu sitzen, nicht an einem verstaubten Schreibtisch, und das tut gut. Und noch eine Besonderheit weist dieses Buch auf. Jeder, der selbst mathematisch forscht, weiß, dass vor dem Auffinden eines neuen Ergebnisses (geschweige denn der Formulierung eines Beweises) zunächst die Gedanken vage umherschweifen; erst, wenn man den Eindruck hat, ein Problem ``im Prinzip'' gelöst zu haben, kann man mit dem Aufschreiben eines formalen Beweises beginnen. Mit anderen Worten, Mathematiker arbeiten -- im Gegensatz zu einem weit ver\-brei\-te\-ten Vorurteil -- niemals deduktiv: sie versuchen sich das Problem wo immer möglich anschaulich zu machen, springen von einer unbegründeten Vermutung zur nächsten, verschieben und verdrehen ihre Ideen kontinuierlich, und kommen zu der Überzeugung, das zu Beweisende könnte stimmen (oder muss falsch sein), lange bevor sie einen eigentlichen Beweis formulieren. Diesem sozusagen ``heuristisch-dynamischen Aspekt'' wird im vorliegenden Buch dadurch Rechnung getragen, dass die Autoren oft vor der Formulierung eines rigorosen Beweises die ``Beweisidee'' in groben Zügen vorstellen. Das ist ganz sicher eine große Hilfe für die Leser, nicht nur solche im ersten Semester, die sich dadurch in ihrem ``Da-wäre-ich-nie-drauf-gekommen''-Gefühl vielleicht nicht so allein gelassen fühlen wie bei der Lektüre anderer Bücher, bei denen alles ``vom Himmel fällt''. Der Rezensent kennt jedenfalls kein Lehrbuch für Anfänger, in dem das so lobenswert konsequent durchgehalten wird wie in diesem. Die große Ausführlichkeit der Darstellung empfand der Rezensent nicht als belastend, sondern als ausgesprochen hilfreich. Wie die Autoren selbst im Vorwort schreiben, haben sie mit Bedacht vieles ``in dieser Einführung deutlich ausführlicher dargestellt, als dies in universitären Lehrbüchern üblich ist'', und sie bringen ihre Überzeugung zum Ausdruck, dass ``Wie\-der\-ho\-lun\-gen weder schädlich noch überflüssig sind, sondern vielmehr helfen, der Mathematik auf den Grund zu gehen und sie besser zu verstehen''. Ebenfalls berechtigt ist der Appell der Autoren an die Leserschaft, sich in Geduld zu üben, denn ``wer zum Beispiel Pianist werden will, kann sich auch nicht einfach an den Flügel setzen und sofort gefeierte Konzerte geben''. Wie wahr! Allerdings lernt man, um im Bilde zu bleiben, Klavierspielen auch nicht dadurch, dass man einem Pianisten beim Üben zusieht, und daher hätte sich der Rezensent noch viel mehr Übungsaufgaben am Schluss jedes Kapitels gewünscht. (Der Klappentext spricht zwar von ``vielen Übungsaufgaben'', aber insgesamt 109 Aufgaben, also durchschnittlich 8 pro Kapitel, sind ja nicht gerade üppig.) In einem ersten Anhang sind dann Lösungshinweise gegeben, die einem ``blockierten'' Leser sinnvoll auf die Sprünge helfen können. Bedauerlicherweise geben die Autoren (auf Wunsch des Verlages?) in einem weiteren Anhang dann aber auch noch die ausführlichen Lösungen sämtlicher Aufgaben an. Das ist sehr schade, denn die Erfahrung zeigt doch, dass nur ganz wenige Studenten mit soviel ``Sitzfleisch'' gesegnet sind, dass sie der Versuchung widerstehen, nach einigen Minuten erfolglosen Probierens hinten die komplette Lösung nachzuschlagen -- und damit ist der Effekt dieser (ohnehin fast durchweg elementaren) Aufgaben natürlich hin. Allerdings fällt dieser Nachteil angesichts der vielen Vorzüge dieses Buches nicht ins Gewicht. Es ist ein sehr gelungenes Werk, welches man allen Studienanfängern in Mathematik, sei es im Diplomstudiengang (oder seiner zukünftigen Schmalspurversion, dem Bachelor), sei es im Studiengang für das Lehramt an Gymnasien oder Real-, Haupt- und Grundschulen, mit Nachdruck empfehlen kann.