On the Singular Set of Harmonic Maps into DM-Complexes (Q3455230)

Le résultat central de cet article est la preuve de la rigidité holomorphique de l'espace de Teichmüller. Plus précisément, soit \(\Gamma\) le groupe modulaire d'une surface orientée de genre \(g\geq2\). Si \(\Gamma\) agit sur une variété de Kähler contractile \(\tilde{M}\) tel qu'il existe un sous-groupe \(\Gamma' \subset \Gamma\) d'indice fini vérifiant: \begin{itemize} \item[(i)] \(M:=\tilde{M}/\Gamma' \) est une variété quasiprojective lisse, \item[(ii)]\(M\) admet une compactification \(\bar M\) comme variété algébrique telle que la dimension de \(\bar M \setminus M\) est supérieure ou égale à \(3\), \end{itemize} alors \(\tilde M\) est biholomorphiquement équivariante ou conjuguée biholomorphiquement à l'espace de Teichmüller \(\mathcal{T}_{g}\) de \(S\) où \(\Gamma\) agit sur \(T\) comme le groupe modulaire. Ce résultat est montré en utilisant la théorie des fonctions harmoniques sur la complétion métrique l'espace de Teichmüller avec la métrique de Weil-Petersson. Deux difficultés principales doivent être résolues afin d'obtenir le résultat. La première difficulté est que la métrique de Weil-Petersson n'est pas un produit mais seulement asymptotiquement un produit. La seconde difficulté est le fait que la complétion est non localement compacte au bord. Les techniques sophistiquées utilisées pour surmonter ces difficultés sont excellemment exposées dans une longue introduction.