Introduction to number theory (Q5920421)

Wie die andern Auflagen zuvor bietet auch die nun vorliegende sechste Auflage der Zahlentheorie für Einsteiger eine Einführung in die Zahlentheorie, die an Lehrer und Studienanfänger gerichtet ist und Themen bespricht, die im Prinzip auch für gute Schüler verständlich sein dürften: es geht um vollständige Induktion, den Euklidischen Algorithmus, den kleinen Fermatschen Satz und Primzahltests, sowie Anwendungen in der Kryptographie. Die hauptsächlichste Änderung gegenüber der letzten Auflage ist der Verzicht auf die Beschreibung des Rechnens mit großen Zahlen und die dazugehörigen Pascal-Programme. Dafür hinzu\-gekommen ist ein Strauß, der die Zahlentheorie des Rings \(\mathbb Z[\phi]\) behandelt, wo \(\phi\) Nullstelle des quadratischen Polynoms \(x^2-x-1=0\) ist. Über die Arithmetik dieses Rings wird so viel Material bereitgestellt, dass am Ende des Buchs der Test von Lucas für Mersennesche Zahlen \(M_p = 2^p-1\) und prime \(p \equiv 3 \bmod 4\) bewiesen werden kann. Auch weiterhin führt das Buch Leser ohne großartige Vorkenntnisse an elementare Probleme der Zahlentheorie heran; für die meisten auf sich selbst gestellten Schüler dürfte die Sprache der abstrakten Algebra, die schon bisher frei verwendet wurde, ein nur mit großer Mühe zu überwindendes Hindernis darstellen; die Änderungen in der vorliegenden Auflage tragen ebenfalls dazu bei, das Gewicht von der Schule in Richtung Hochschule zu verlagern. Für Studienanfänger und Lehrer aber darf das Buch uneingeschränkt empfohlen werden. In der nunmehr sechsten Auflage dieser erfolgreichen Einführung in die Zahlentheorie wurden einige Passagen dem aktuellen Stand der Forschung angepasst. Damit bietet dieses Buch auch weiterhin einen bunten Strauß von klassischen Themen der Zahlentheorie: nach den Grundlagen über Primzerlegung und Kongruenzen, sowie der Theorie der quadratischen Reste folgen Kapitel über additive Probleme und diophantische Gleichungen (Summen von Quadraten, Pellsche Gleichung, und natürlich die Fermatsche Vermutung), Kettenbrüche, die wichtigsten Sätze der klassischen Transzendenztheorie (Thue-Siegel-Roth, Hermite-Lindemann-Weierstraß, sowie Gelfond-Schneider), und schließlich über den Primzahlsatz, dessen Beweis nach Newman geführt wird. Für Besprechungen früherer Auflagen vgl. Zbl 0646.10001 und Zbl 1054.11002.