Introduction to higher analysis. Topological spaces, function theory, ordinary differential equations, measure and integration theory, functional analysis (Q5920624)

Der Verfasser dieses Werks ist als Autor eines Funktionalanalysis-Buches bekannt, welches mittlerweile schon in der fünften Auflage erschienen ist (zu den Vorauflagen s.\ 1995, Zbl 0831.46002; 1997, Zbl 0887.46001; 2000, Zbl 0964.46001; 2002, Zbl 1048.46004; 2005, Zbl 1055.46001). Dass diese Neuauflagen innerhalb recht kurzer Zeit erschienen sind, spricht natürlich für die Qualität des Buches und die Meisterschaft des Verfassers. Ähnliches trifft auch auf sein hier zu besprechendes neues Buch zu. Schon vor der Einführung des Bachelor-Master-Schmalspurstudiums war ja an vielen deutschen Universitäten die Tendenz zu beobachten, die eigentlich voneinander unabhängigen klassischen analytischen Vorlesungen des Hauptstudiums wie Topologie, Komplexe Analysis, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Maß- und Integrationstheorie, Funktionalanalysis, Fourieranalysis, Variationsrechnung, partielle Differentialgleichungen und Integralgleichungen nicht mehr einzeln anzubieten, sondern gebündelt (und oft als Fortsetzungsveranstaltung auf mehrere Semester verteilt), und zwar unter dem Namen ``Höhere Analysis'', neudeutsch ``Higher Analysis''. Dass Autor und Verlag diesem Umstand nunmehr durch die Herausgabe eines Buchs dieses Namens Rechnung tragen, ist konsequent, legitim und begrüßenswert. Von den oben genannten neun Gebieten deckt das Buch die ersten fünf ab, die in etwa gleich großen Kapiteln einzeln abgehandelt werden. Im ersten Kapitel werden Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie wie Kompaktheit, Zusammenhang und Stetigkeit (in metrischen und topologischen Raumen) bereitgestellt, bis hin zum Baireschen Kategoriensatz, der ja die Grundlage vieler wichtiger Sätze der Funktionalanalysis bildet. Im zweiten Kapitel werden holomorphe und meromorphe Funktionen diskutiert, wobei der behandelte Stoff bis zum Residuenkalkül und seiner Anwendung auf die Berechnung reeller Integrale reicht. Das dritte Kapitel ist der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen gewidmet; hierbei werden neben dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (mit Beweis) und dem Existenzsatz von Cauchy-Peano (ohne Beweis) auch Stabilitätssätze behandelt. Im vierten Kapitel werden das Lebesgue-Maß und -Integral diskutiert, einschließlich einiger interessanter Anwendungen (z.B. auf Faltungen und Glättungen, die ja in der Theorie partieller Differentialgleichungen überaus wichtig sind). Das letzte Kapitel schließlich kann man als eine Art komprimierte Version des oben erwähnten Funktionalanalysis-Buches desselben Autors ansehen; dort findet man grundlegende Ergebnisse über beschränkte (speziell kompakte) lineare Operatoren zwischen Banach- und Hilberträumen, einschließlich einiger Anwendungen auf Fourierreihen sowie Liouvillesche Rand- und Eigenwertprobleme. Es ist ein Verdienst des Autors, dass er über den geschilderten Stoff hinaus noch innerhalb jedes Kapitels ein ``Sahnehäubchen'' für den Leser bereitstellt, welches nicht unbedingt zum Standardstoff gehört, aber von großem Interesse ist. Im Kapitel über Komplexe Analysis ist dies der (vollständig bewiesene!) Primzahlsatz, im Kapitel über Maß- und Integrationstheorie der inzwischen übliche rein analytische Beweis des Brouwerschen Fixpunktsatzes (der wohl deswegen in dieses Kapitel geraten ist, weil er die Transformationsformel für das Lebesgue-Integral benutzt). Am Schluss jedes Kapitels findet man eine Aufgabensammlung (zum Glück nicht mit Lösungen, sondern nur mit einzelnen Tipps zu etwas kniffligeren Aufgaben) sowie Hinweise auf weiterführende Literatur mit Kommentaren. Natürlich kann dieses Buch -- wie der Autor selbst im Vorwort schreibt -- nicht den Stoff jeweils einer vierstündigen Vorlesung zu jedem der fünf Kapitel abdecken. Vielmehr sind die einzelnen Kapitel als (ebenso kalorienhaltige wie wohlschmeckende) ``appetizer'' anzusehen, die das Interesse des Lesers am Ende des Grundstudiums wecken und seine Orientierung für das Hauptstudium erleichtern sollen. Dies setzt eine erhebliche Selbstdisziplin beim Autor voraus, und er hat in der Tat die Erreichbarkeit dieses Ziels überzeugend bewiesen. Es ist faszinierend zu sehen, wieviel nichttrivialen Inhalt er auf einem doch recht überschaubaren Umfang von 380 Seiten unterbringen konnte. Man kann erwarten, dass diesem Buch eine ähnliche Popularität wie dem oben erwähnten Funktionalanalysis-Buch beschieden sein wird; verdient hat es dies allemal.