Über die Irreduzibilität von Polynomen. (Q5921759)

Für Polynome der Gestalt \(f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\dots +a_n\) mit ganz rationalen Koeffizienten \(a_i\) werden vom Verf. eine Reihe von Irreduzibilitätskriterien für den rationalen Zahlkörper angegeben, bei denen gewisse einfache Ungleichungen unter den Koeffizienten \(a_{i}\) vorausgesetzt werden. Wenn \(a_{2} > 0\) und \(a_n\neq 0\), außerdem \(\sqrt{a_2}>\dfrac{3\sqrt{2}}{2}(|\,a_1\,|+|\,a_3\,|+\dots +|\,a_n\,|)\) wird, so ist das Polynom irreduzibel. Oder: \(f(x)=a_0p^k+a_1x+a_2x^2+\dots +a_nx^n\) mit \(a_1\neq 0\) ist irreduzibel, falls \(p\) Primzahl und \(k\) eine genügend große ganze positive Zahl bedeutet. Ähnliche Sätze stammen von Perron, Petterson, Ore und anderen. Die Beweise benutzen einen schon von \textit{D. E. Mayer} 1891 bewiesenen Satz (Nouv. Ann. Math. (3) 10, 111-124; F. d. M. 23, 99 (JFM 23.0099.*)), der über die Verteilung der Nullstellen von \(f(x)\) in der komplexen Ebene, besonders über die Lage derselben innerhalb oder außerhalb des Kreises \(|\,x\,|<1\), Aussagen macht.