Sur les nombres transfinis. (Q5921770)

Verf. nennt jedes lineare Anordnungsgesetz für die natürlichen Zahlen eine Permutation der Zahlenreihe. Es sei \(e_n\) die Menge der natürlichen Zahlen \(\leqq n\). Dann ordnet er jeder Permutation die Zahl \(x = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{a_n}{n!}\) zu, wobei \(a_n\) diejenige der Zahlen in \(e_{n-1}\) bedeutet, auf die \(n\) innerhalb \(e_n\) zufolge der Permutation unmittelbar folgt; ist \(n\) dort Anfangs element, so ist \(a_n = 0\). Offenbar ist \(0 \leqq x \leqq 1\). Daß die Permutation eine Wohlordnung darstellt, wird durch zwei Eigenschaften der Zahlenfolge \(a_n\) ausgedrückt. Verf. betont, daß hierdurch eine transfinite Zahl ohne vorhergehende Konstruktion aller kleineren Zahlen charakterisiert wird. Dem Ref. ist nicht ganz klar, was hiermit eigentlich gemeint wird; denn was charakterisiert wird, ist nicht eine Zahl, sondern die Eigenschaft der Wohlordnung. Verf. bemerkt, daß der Rang (d. h. die Stellennummer) eines Elementes einer geordneten Menge auf sich selbst existiert. Weiter macht er eine Bemerkung zum Wohlordnungssatz von Zermelo und beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen einer Ordnungszahl und dem Typus der Reihe aller kleineren Zahlen sowie mit der Definition von Summe und Produkt zweier Ordnungszahlen.