On Lamé functions. (Q5921778)

Es sei \(k\) der Modul der elliptischen Funktion sn\((u,k)\), ferner \(\boldsymbol K\equiv \boldsymbol K(k)\) das vollständige elliptische Integral erster Gattung, \(\boldsymbol K'=\boldsymbol K(k')\) mit \(k'=\sqrt{1-k^2}\). Dann gilt nach einem Satz von \textit{E. L. Ince} (Proc. R. Soc. Edinburgh 9 (1940), 47-63; F. d. M. 66, 324 (JFM 66.0324.*)), daß die Lamésche Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{du^2}+[h-n(n+1)k^2\,\text{sn}^2(u,k)]y=0 \tag{1} \] für jeden reellen Wert von \(n\) periodische Lösungen mit den Perioden \(2\boldsymbol K\) und \(4\boldsymbol K\) besitzt. Diese werden mit Ec\(_n^m(u,k^2)\) bzw. Es\(_n^m(u,k^2)\) bezeichnet, je nachdem, ob sie gerade bzw. ungerade Funktionen von \(u\) sind; die nicht negative ganze Zahl \(m\) gibt die Anzahl der Nullstellen im Intervall \(0\leqq u< 2 \boldsymbol K\) an. Die zugehörigen Eigenwerte \(h\) werden mit \(a_n^m(k^2)\) bzw. \(b_n^m(k^2)\) bezeichnet. Mit Hilfe der imaginären Transformation von Jacobi läßt sich zeigen, daß für jeden reellen Wert von \(n\) auch periodische Lösungen von (1) mit den Perioden \(2i\boldsymbol K'\) bzw. \(4i\boldsymbol K'\) existieren; sie sind gerade bzw. ungerade Funktionen von \(v=iu+i\boldsymbol K'-i\boldsymbol K\) und in der Form Ec\(_n^m(v,k^{\prime 2})\) bzw. Es\(_n^m(v,k^{\prime 2})\) darstellbar, wobei \(m\) nunmehr die Anzahl der Nullstellen im Intervall \(u=\boldsymbol K+i\boldsymbol K'+it\), \(0 \leqq t< 2\boldsymbol K'\) bedeutet. Die zugehörigen Werte von \(h\) sind \(h=n(n+1)-a_n^m(k^{\prime 2})\) und \(h=n(n+1)-b_n^m(k^{\prime 2})\). Die einzigen Lösungen von (1), welche eine reelle und eine imaginäre Periode besitzen, sind die Laméschen Polynome; sie gehören zu ganzzahligen Werten von \(n\); für die zu ihnen gehörigen Eigenwerte \(h\) gelten die Relationen \[ a_n^{2m}(k^2)+a_n^{n-2m}(k^{\prime 2})= a_n^{2m+1}(k^2)+b_n^{n-2m}(k^{\prime 2})= b_n^{2m+1}(k^2)+b_n^{n-2m-1}(k^{\prime 2})=n(n+1), \] wenn \(n\) gerade ist; \[ a_n^{2m}(k^2)+b_n^{n-2m}(k^{\prime 2})= a_n^{2m+1}(k^2)+a_n^{n-2m}(k^{\prime 2})= b_n^{2m}(k^2)+b_n^{n-2m+1}(k^{\prime 2})=n(n+1), \] wenn \(n\) ungerade ist. Ein Nebenresultat der Untersuchungen ist der Satz, daß die Nullstellen aller Laméschen Polynome auf den Geraden \(u=\sigma+2ir'\boldsymbol K'\) und \(u=(2r-1)\boldsymbol K + it\) liegen (\(\sigma\), \(t\) reell, \(r\), \(r'= 0,\pm 1,\pm 2, \ldots\)). Den Beziehungen zwischen den Eigenwerten \(h\) der Laméschen Polynome entsprechen Transformationsformeln für diese. -Resultate für Lösungen von (1) mit größeren Perioden (8\(\boldsymbol K\) usw.) werden angedeutet.