Sur une équation fonctionnelle. (Q5921814)

Verf. behandelt die Funktionalgleichung \[ f(n+k)f(n-k)-f(n)^2=A(n)B^{n-1}(n),\tag{1} \] worin \(A (n)\), \(B (n)\) vorgegebene Funktionen der Periode \(k\) bezeichnen; sie läßt sich in eine lineare Differenzengleichung \[ f (n+k) - C (n) f (n) + B^k(n)f(n - k) = 0 \] verwandeln, die nach den üblichen Verfahren zu lösen ist. Allgemeiner löst Verf. mit denselben Gedanken die Funktionalgleichung \[ \|f(n+(p + 2-\mu-\nu)k)\|_{\mu,\nu=1}^{p+1}= A(n)B^{n-1}(n). \] Ein Sonderfall von (1) ergibt sich, wenn \(A\), \(B\) von \(n\) unabhängig und Polynome in einer Variablen \(x\) sind; sucht man die Polynomlösungen \(f(n) = P_n(x)\), so besteht zwischen diesen z. B. im Falle \(k = 1\) die Beziehung \[ P_{n+1}(x)P_{n-1}(x)-P_n(x)^2= A (x ) B (x)^{n-1};\tag{2} \] sie lassen sich angeben. Insbesondere prüft Verf. nach, wann in der durch (2) defi\-nierten Polynomfolge einmal ein identisch verschwindendes Polynom auftritt. Die durch (2) erklärte Folge läßt sich natürlich auch nach rückwärts verlängern.