Fourier integrals and metric geometry. (Q5921854)

Die Werte einer Funktion \(f_t(-\infty<t<\infty )\) sollen in einem metrischen Raum \(S\) liegen, und \(f_t\) soll metrisch stetig sein, d. h. \(d (f_{t+h}, f_t )\to 0 \) für \(h \to 0\). Wenn \(d(f_t, f_s)\) nur eine Funktion von \(t - s\) ist: \(d(f_t, f_s) = F (t - s)\), so heißt die durch \(f_t\) in \(S\) definierte Kurve \(\varGamma\) eine Schraubenlinie von \(S\) und \(F(t) = d(f_t, f_0)\) eine Schraubenfunktion von \(S\). (Grund: Wegen \(d(f_t, f_s) = d(f_{t + \tau}, f_{s + \tau}) F(t-s)\) bedeutet die Korrespondenz \(f_t \leftrightarrow f_{t+\tau}\) eine isometrische Abbildung der Kurve auf sich, analog der Verschiebung einer Schraubenlinie in sich.) Beispiel: \(F_3(t) = (t^2 + \sin^2 t)^{\frac 12}\) ist eine Schraubenfunktion des euklidischen Raumes \( E_3\). \(f_t\) hat hier die drei Koordinaten \(t\), \(\frac 12 \cos\, 2t\), \(\frac 12 \sin\, 2t\), und es ist \[ \begin{multlined} d^2 (f_t, f_s ) = F_3^2 (t - s) = (t-s)^2 + \sin^2(t-s) \\ = (t- s)^2 + \tfrac 14 (\cos \, 2 t - \cos\, 2 s)^2 + \tfrac 14 (\sin \, 2 t - \sin\, 2 s)^2 . \end{multlined} \] Die Arbeit beschäftigt sich mit dem Fall, daß \(S\) ein reeller Hilbertscher Raum \(\mathfrak H\) ist. Der Fundamentalsatz lautet: \textit{Satz} 1: Die Klasse aller Schraubenfunktionen \(F (t)\) von \(\mathfrak H\) ist identisch mit der Klasse von Funktionen, deren Quadrat von der Form ist \[ F^2 (t) = \int\limits_0^\infty \frac {\sin^2 tu}{u^2} d\gamma (u), \] wo \(\gamma (u)\) eine nichtabnehmende Funktion mit konvergentem \( \int\limits_1^\infty u^{-2} \,d\gamma (u)\) ist. Die Tatsache, daß alle Funktionen \(F(t)\) dieser Art Schraubenfunktionen von \(\mathfrak H\) sind, ist leicht, die Umkehrung ziemlich schwierig zu beweisen. Der letzte Beweis wird auf zwei Wegen geführt: in Teil II der Arbeit vermittels der Theorie der Operatoren, indem die Gruppe der isometrischen Abbildungen von \(\mathfrak H\) auf sich untersucht wird, die die Gruppe der isometrischen Abbildungen einer Schraubenlinie auf sich induziert; in Teil III vermittels der Theorie der ``positiv definiten Funktionen'', d. h. der charakteristischen Funktionen in der Wahrscheinlichkeitstheorie (Fourier-Integrale). Dieser letzte Beweis wird für einen noch allgemeineren Fall durchgeführt. In Teil I werden noch spezielle Klassen von Schraubenlinien und -funktionen charakterisiert, wozu die Darstellungsformel zweckmäßig in der Gestalt geschrieben wird: \[ F^2 (t) = Ct^2 + \int\limits_{+0}^\infty \frac {\sin^2 tu}{u^2} \,d\gamma (u), \quad C= \gamma (+0)- \gamma (0). \] Schraubenfunktion euklidisch: \(\gamma (u)\) hat eine endliche Anzahl von Wachstumspunkten; \newline Schraubenfunktion beschränkt: \(C = 0\) und \(\int\limits_{+0}^\infty u^{-2} \,d\gamma (u)\) existiert; \newline Schraubenlinie rektifizierbar: \(\gamma (u)\) ist beschränkt; \newline Schraubenlinie geschlossen: \(F (t)\) ist periodisch und \(F^2 (t)\) von der Form \[ \sum_{k=1}^\infty c_k\sin^2 \left(\frac {k\pi}\tau t\right), \quad c_k \geqq 0, \quad \sum_{k=1}^\infty c_k \text{ konvergent}; \] Schraubenlinie beschränkt: Sie kann auf eine Hyperkugel von \(\mathfrak H\) gelegt werden.