The mean value of the zeta-function on the critical line. (Q5921879)

Das von \textit{E.~C.~Titchmarsh} erhaltene Ergebnis (Proc. London math. Soc. (2) 27 (1927), 137-150; vgl. auch \textit{A.~E.~Ingham}, ebenda (2) 27 (1927), 296-300; F.~d.~M. 53, 313) \[ I(\delta)=\int\limits_0^\infty|\zeta(\tfrac12+it)|^4e^{-\delta t}\,dt\sim \frac1{2\pi^2\delta}\log^4\frac1\delta \quad\text{für}\quad \delta\to 0 \] verbessert Verf. zu \[ \begin{gathered} I(\delta)=\frac1{2\pi^2\delta}\left(\log^4\frac1\delta+B\log^3\frac1\delta+ C\log^2\frac1\delta+D\log\frac1\delta+E\right)+ O\left(\left(\frac1\delta\right)^{\frac{13}{14}+\varepsilon}\right),\\ B=-\left(4\log2\pi-12\gamma+\frac{48\zeta'(2)}{\pi^2}\right), \quad 2\gamma=3-\varGamma'(3), \quad \varepsilon>0. \end{gathered} \] Zum Beweis schreibt er, zunächst das Integral um in \[ 4\pi^3\delta^2\sqrt2\int\limits_0^\infty e^{-2\pi x\delta} \sum_{n<x^2}d_4(n)n^{-\frac14}e^{-4\pi i\sqrt n-\frac{\pi i}4} \left(x-\sqrt n\right)\,dx+O(\delta^{-\frac12}\log^3\delta), \] \(d_4(n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Produkt von vier Faktoren. Die Hauptarbeit liegt dann im Beweis des als Grundformel bezeichneten Satzes~II, der für \(\sum\limits_{n<x^2}d_4(n)\dot (ln)^{-\frac14}e^{-4\pi i\sqrt{(ln)}\frac{\pi i}4}\left(x-\sqrt n\right)\) eine andere Darstellung liefert bis auf \(O(x^{\frac32}l^{-\frac34}\log x)+O(xl^{-\frac12}\log x)+O(xl^{-1}\log^2x)\). Bei den Abschätzungen wird dann ein Ergebnis von \textit{T.~Estermann} (J. reine angew. Math. 164 (1931), 173-182; F.~d.~M.~57, 222, JFM 57.0222.01) benutzt: \[ \sum_{\max(1-k,1)\leqq m\leqq n} d_4(m)d_4(m+k)=n(a_{1k}\log^2n+a_{2k}\log n+a_{3k})+ O(n^{\frac{11}{12}}k^{\frac16}\log^3n) \] mit angebbaren \(a_{ik}\).