A double integral. (Q5921886)

\(K(x)\) sei ein ``Fourier-Kern'' im Sinne von Watson, d. h. für \(K_1(x)=\int\limits_{0}^{x} K(t) \,dt\) gilt: \[ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{K_1(ax) \,K_1(bx)}{x^2} dx= \text{ min } (a, \,b), \] und es sei \(K_1(x)=O(x^{\frac{1}{2}})\) für alle \(x\). Ist \(H(x, \,y)\) homogen vom Grade -- 1 und mit stetigen partiellen Ableitungen außer eventuell im Nullpunkt versehen, so ist: \[ \int\limits_{0}^{\infty} \int\limits_{0}^{\infty} K(ax) \,K(by) \, H(x, \,y) \,dx \,dy=H(b, \,a), \] wobei das Integral so zu interpretieren ist: \[ \lim_{\xi \to 0, X \to \infty} \int\limits_{\xi}^{X} dx \left( \lim_{\eta \to 0, Y \to \infty} \int\limits_{\eta}^{Y} dy \right) \qquad \text{oder} \qquad \lim_{\eta \to 0, Y \to \infty} \int\limits_{\eta}^{Y} dy \left( \lim_{\xi \to 0, X \to \infty} \int\limits_{\xi}^{X} dx \right). \] Ist \(K_1(x)=o(x^{\frac{1}{2}})\) bei 0 und \(\infty\) und hat \(H(x, \,y)\) stetige zweite Ableitungen außer eventuell im Nullpunkt, so kann das Integral als \[ \lim_{\xi \to 0, X \to \infty, \eta \to 0, Y \to \infty} \int\limits_{\xi}^{X} \int\limits_{\eta}^{Y} \,dx \,dy \] interpretiert werden.