Determinanten. (Q5921904)

Wie Verf. im Vorwort anführt, sollen ``die zahlreichen Anwendungen (sie füllen mehr als die Hälfte des Buches) Notwendigkeit und Nutzen des Determinantenkalküls in helles Licht'' setzen. Die Einführung in die Theorie geht aus von den Permutationen. Nach Aufstellung des Determinantenbegriffes folgen Entwicklungssätze, Additions- und Multiplikationssatz. Jetzt erst wird der Matrixbegriff eingeführt (rechteckige Matrizen), und zwar als reines Elementenschema. Nach Multiplikationssätzen (gewöhnliches Matrizenprodukt, Lang- und Kurzprodukt) und Rangbetrachtungen folgt erst hier der Zusammenhang mit den linearen Gleichungssystemen. Die Cramersche Regel wird entwickelt, und als Lösbarkeitsbedingung wird das Verschwinden der Rouchédeterminanten, insbesondere für ein homogenes Gleichungssystem der Satz von Bézout gewonnen. Verf. zählt diesen Satz ``zu den fruchtbarsten Sätzen der Mathematik''. Die Mehrzahl der im zweiten Teil behandelten Anwendungsbeispiele führt auch auf ein homogenes lineares Gleichungssystem, dessen nichttriviale Lösbarkeit eben durch das Verschwinden der Koeffizientendeterminante ausgedrückt wird. Im Gange der theoretischen Herleitung folgen die Differentiation einer Determinante, ferner Reziprokenbildung, Charakterisierung symmetrischer und schiefsymmetrischer Matrizen. Den Abschluß bildet der Satz von Hadamard. Die Anwendungen, zur einen Hälfte arithmetischer, zur anderen geometrischer Natur, sind so ausgewählt, daß ein ``möglichst vielseitiges und abwechslungsreiches Bild von der Kraft der Determinantenmethode'' gegeben wird. Als Beispiele seien genannt: Die kubische und die biquadratische Gleichung, die Resultante und Diskriminante, Funktionaldeterminanten, Orthogonaltransformationen, quadratische Formen, Säkulargleichung; Dreiecks- und Tetraederinhalt, der Monge-Kreis, Steiners Problem, ausgeartete Flächen zweiten Grades.