On Waring's problem with powers of primes. (Q5921921)

Vom Verf. war (Proc. Indian Acad. Sci. A 9 (1939), 29-34; F. d. M. 65, 146 (JFM 65.0146.*)) der folgende Satz (dort Lemma (5), S. 32) bewiesen worden: Es sei \(k > 4\) ganz; \(p_1, \dots, p_{n-1}, p_n = 2\) seien die verschiedenen Primzahlen \(p\), für die \(p - 1\) in \(k\) aufgeht. Für \(r = 1, \dots, n\) sei \(p_r^{\theta_r}\) die höchste in \(k\) aufgehende Potenz von \(p_r\); \, \(\gamma_r = \theta_r + 2\), wenn \(r = n\) und \(k\) gerade ist, in den übrigen Fällen \(\gamma_r = \theta_r + 1\); \(d_r = p_r^{\gamma_r}\). Es sei \(K = d_1 \cdots d_n\); \(P\) sei die kleinste nicht in \(K\) aufgehende Primzahl. Dann ist jede ganze Zahl mod \(K\) kongruent einer Summe aus höchstens \(3(d_1 + \cdots + d_{n -1}) + d_n - 2n\) Summanden von der Gestalt \(p_1^k, \dots, p_{n-1}^k\) oder \(P^k\). In der vorliegenden Arbeit wird nun nach demselben Verfahren der schärfere Satz bewiesen, daß für \(s = 1, \dots, n\) jede ganze Zahl mod \(K\) bereits einer Summe von höchstens \(2(d_1 + \cdots + d_s) + d_{s+1} \dots d_n - s - 1\) Summanden der Gestalt \(p_1^k, \dots, p_s^k\) oder \(P^k\) kongruent ist.