The theory of integration. (Q5921933)

Der hier eingeführte und untersuchte Integralbegriff möge durch Gegenüberstellung etwa zum (verallgemeinerten) Lebesgueintegral für reelle Funktionen deutlich gemacht werden. Bei letzterem haben wir (vgl. z. B. \textit{Haupt-Aumann}, Differential- und Integralrechnung. III (Berlin-Leipzig 1938; F. d. M. \(64_{\text I}\), 153) über einem abstrakten Definitionsbereich \(\mathfrak A\) bzw. einem \(\sigma\)-Körper von (meßbaren) Teilmengen \(\mathfrak T\) von \(\mathfrak A\) erklärt: Eine reelle Punktfunktion \(f(P)\) bzw. eine reelle, nicht-negative, volladditive Mengen-(Maß-)Funktion \(m(\mathfrak T)\). Es wird \(\mathfrak A\) als Summe abzählbar vieler, fremder, meßbarer Teile \(\mathfrak T_\nu\) dargestellt und \(S=\sum\limits_\nu m(\mathfrak T_\nu)f_\nu\) gebildet, wobei unbedingte Konvergenz vorausgesetzt ist. Dabei ist \(f_\nu\) irgendeine Zahl aus dem kleinsten Intervall, welches sämtliche \(f(P)\) mit \(P\in \mathfrak T_\nu\) enthält; es ist also \(f_\nu\) darstellbar als endliche Summe \(\sum\limits_\varrho a_{\nu\varrho}f(P_{\nu\varrho})\) mit \(\sum\limits_{\varrho}a_{\nu\varrho}=1\), \(a_{\nu\varrho}\geqq 0\), \(P_{\nu\varrho}\in\mathfrak T_\nu\). Dementsprechend gehört zu jeder Einteilung \(\varDelta=(\mathfrak T_1,\mathfrak T_2,\ldots)\) von \(\mathfrak A\) ein Intervall der Zahlengeraden, nämlich das kleinste, alle zugehörigen \(S\) umfassende. Ist die untere Grenze der Durchmesser dieser Intervalle Null, so heißt \(f\) integrierbar. Die in vorliegender Arbeit behandelte Verallgemeinerung ist nun, grob gesagt, folgende: Die Werte von \(f(P)\) sind beschränkte Mengen aus einem Banachraum \(\mathfrak B\), die Werte von \(m(\mathfrak T)\) sind lineare Transformationen \(\tau(\mathfrak T)\) des Raumes \(\mathfrak B\) in sich; es bedeutet also \(\tau(\mathfrak T_\nu)f_\nu\) eine lineare Transformation von \(f_\nu\). Dementsprechend treten an Stelle der \(a_{\nu\varrho}\) passende, mit Hilfe der \(\tau(\mathfrak T)\) erklärte lineare Transformationen \(T_{\nu\varrho}\) mit \(\sum\limits_\varrho T_{\nu\varrho}=I\) und \(\|\sum\limits_\varrho T_{\nu\varrho}g_\varrho\|\leqq M\max\limits_\varrho\|g_\varrho\|\), wo \(M\) eine absolute Konstante ist, und an Stelle der \(f(P_{\nu\varrho})\) treten irgendwelche Punkte von \(f(\mathfrak T_\nu) =\sum\limits_{P\in\mathfrak T_\nu}f(P)\). Die hiermit angedeutete Bildung von \(f_\nu\) ist ersichtlich eine Verallgemeinerung der Bildung der Punkte der gewöhnlichen konvexen Hülle. Für den so erklärten Integralbegriff, insbesondere für den Fall eines eindeutigen (d. h. einpunktigen) \(f(P)\), gelten die meisten der beim Lebesgueintegral bekannten Sätze. Für eben diesen Fall wird auch der Begriff ``meßbare Funktion'' durch die Forderung erklärt, daß die Urbildmenge \([\|f(P) -f_0\|\leqq r]\) meßbar ist (\(r > 0\)). Die Integrabilität meßbarer Funktionen wird untersucht, ebenso die Beziehung des vorliegenden Integral- bzw. Meßbarkeitsbegriffes zu solchen von \textit{Garrett Birkhoff} (Trans. Amer. math. Soc. 38 (1935), 357-378; F. d. M. \(61_{\text I}\), 234), \textit{S. Bochner} (Fundam. math., Warszawa, 20 (1933), 262-276; F. d. M. \(59_{\text I}\), 271) und \textit{M. Gowurin} (Fundam. math., Warszawa, 27 (1936), 254-268; F. d. M. \(62_{\text I}\), 249). Ferner enthält die Arbeit eine Theorie entsprechend verallgemeinerter Riemann-Stieltjes-Integrale, wobei aber die Maßfunktion reell ist und folglich die Bildung der \(f_\nu\) der gewöhnlichen Konvexität (im Raume \(\mathfrak B\)) entspricht; insbesondere wird eine Verallgemeinerung des Darbouxschen Ober- und Unterintegrals eingeführt. Weiter werden Bochnersche und Bochner-Dunfordsche Definitionen meßbarer und summierbarer Funktionen ausgedehnt auf Funktionen, deren Werte Punktmengen eines Raumes \(\mathfrak B\) sind. Den Schluß bilden Anwendungen auf Fourreihen für Funktionen, deren Werte Punktmengen eines Raumes \(\mathfrak B\) sind, während ihr Definitionsbereich ein reelles Intervall ist. Erwähnt seien noch Konvergenzbegriffe und -sätze für Reihen von (abstrakten) Funktionen der hier stets betrachteten Art. Verf. weist in der Einleitung darauf hin, daß die den verschiedenen Erzeugungsverfahren entsprechenden Integralbegriffe sich im allgemeinen gegenseitig nicht decken oder umfassen, während sich im speziellen Fall der reellen Funktionen stets das gleiche ergibt, nämlich das Lebesgueintegral.