Remarques sur les espaces uniformément convexes. (Q5921976)

In einem regulär konvexen Banachraum \(B\) kann man für jeden Punkt \(x_0\) durch \(| x_0 - y| = \) Minimum für alle \(y \in V\) die Projektion \(y_0\) von \(x_0\) auf den Teilraum \(V\) erklären. Ist \(V\) vollständig, so ist die Projektion eindeutig bestimmt. Ferner heiße \(x\) senkrecht auf \(y\), wenn die Projektion von \(x\) auf die Mannigfaltigkeit \((y)\) Null ist. \(B\) heißt von gleichmäßig regulärer Norm, wenn es eine mit \(|\lambda |\) unendlich klein werdende Funktion \(o(|\lambda|)\) einer Ordnung größer als 1 gibt, so daß für alle Paare \(x\), \(y\), \(| x | = | y | = 1\), \(x\) senkrecht auf \(y\), \(|x +\lambda y| - |x| \leqq o(|\lambda|)\) gilt. Die Räume \(L^p\) haben z. B. diese Eigenschaft. Es gilt, daß in einem \(B\) von gleichmäßig regulärer Norm die Gesamtheit der \(y\), zu denen ein festes \(x\) senkrecht ist, einen vollständigen linearen Teilraum bilden. Ferner gilt unter derselben Voraussetzung, daß auch \(\overline B\) regulär konvex und von gleichmäßig regulärer Norm ist, \(\overline B\) ist sogar eineindeutig und umkehrbar stetig auf \(B\) abbildbar. Ohne Beweise.