Sur quelques notions fondamentales dans la théorie générale des opérations linéaires. (Q5921978)

Gegeben ist ein Fundamentalbereich \(\varOmega\) von Elementen \(f\), \(g\), für die eine Addition und Subtraktion erklärt ist, die außer den üblichen Regeln noch folgende Eigenschaft hat: Ist \(f_1 + f_2 = g_1 + g_2 = f\), so existieren Elemente \(f_{11}\), \(f_{12}\), \(f_{21}\), \(f_{22}\), so daß \(f_{11} + f_{12} = f_1\), \(f_{21} + f_{22} = f_2\), \(f_{11} + f_{21} = g_1\), \(f_{12} + f_{22} = g_2\) ist. Ein Beispiel für \(\varOmega\) bilden die nichtnegativen und stetigen im Intervall \([a, b]\) erklärten Funktionen. \(f_{ik}\) ist gleich \(\dfrac{f_i(x) g_k(x)}{f(x)}\) zu setzen, wie man sofort sieht, damit die obige Eigenschaft erfüllt ist. In \(\varOmega\) werden nun lineare positive Operationen \(A\) betrachtet, d. h. \(Af \geqq 0\) und \(A(f_1 + f_2) = Af_1 + Af_2\). Ist \(A_1f \leqq A_2 f\) für jedes \(f\), so heißt \(A_1\) Minorante von \(A_2\), \(A_2\) Majorante von \(A_1\), \(A_1 \leqq A_2\). Es wird bewiesen, daß jede Menge \(\{A\}\) von Operationen \(A\) eine größte Minorante besitzt und, falls überhaupt eine gemeinsame Majorante existiert, so auch eine kleinste (Bezeichnung inf \(\{A\}\) bzw. sup \(\{A\}\)). Es gilt \(\inf \{A + B\} = \inf \{A\} + \inf \{B\}\) für beliebige Mengen \(\{A\}\), \(\{B\}\) von Operationen, wobei auf der linken Seite alle Summen \(A + B\), \(A \in \{A\}\), \(B \in \{B\}\) einzusetzen sind. Ist \(\inf \{A, B\} = 0\), so heißen \(A\) und \(B\) disjunkt, \(A \| B\). Es werden einige Rechenregeln über disjunkte Operationen abgeleitet. Ist \(A \leqq B\) und \(A \| B - A\), so heißt \(A\) ein disjunkter Teil von \(B\). Eine Menge von Operationen \(A\) heißt eine vollständige Familie, wenn sie \ 1) mit \(A\) alle seine Minoranten enthält, \ 2) stets die Summe zweier ihrer Elemente enthält, \ 3) die kleinsten Majoranten der majorisierbaren Teilmengen enthält. Es gilt: Ist \(\{A^\prime\}\) die Menge aller zu allen \(A\) aus \(\{A\}\) disjunkten Operationen, \(\{A^{\prime\prime}\}\) die analog zu \(\{A^\prime\}\) gebildete Menge, so sind \(\{A^\prime\}\) und \(\{A^{\prime\prime}\}\) vollständige Familien und \(\{A^{\prime\prime}\}\) ist die kleinste \(\{A\}\) umfassende vollständige Familie. -- Der Bereich der linearen Operationen wird jetzt erweitert, es werden auch die Differenzen \(B - C\) positiver Operationen zugelassen. Jede solche Operation \(A\) läßt sich eindeutig als Differenz \(A = \text{ pos } A - \text{ neg } A\) (pos \(A = \sup (A, 0)\), neg \(A = \sup ( -A, 0)\)) zweier disjunkter positiver Operationen darstellen. Die Begriffe inf, sup, \(A \| B\) lassen sich sofort übertragen auf diese Operationen. Es wird nun ein Funktionalkalkül in folgender Weise eingeführt. E sei positiv und fest gegeben, \(A\) gehöre zur vollständigen Familie von \(E\). Es wird für \(\infty < -\lambda < +\infty\) \ \(P_\lambda = \text{ pos } (\lambda E - A)\) und \(N_\lambda = \text{ neg } (\lambda E - A)\) gebildet. Die Funktionen \(P_\lambda f\), \(N_\lambda f\) sind von rechts differenzierbar, man erhält so die Operationen \(P_\lambda^\prime\), \(N_\lambda^\prime\). Es wird \(P_\lambda^\prime = E_\lambda\) gesetzt und bewiesen, daß \(E_\lambda\) und \(E - E_\lambda\) disjunkte Teile von \(E\) sind mit \(E_{-\infty} = 0\), \(E_{+\infty} = E\). Entsprechend zerfällt \(A\) in die disjunkten Teile \(A_\lambda = \lambda P_\lambda^\prime - P_\lambda\) und \(A - A_\lambda\) mit \(A_{-\infty} = 0\), \(A_{+\infty} = A\). Ist nun \(\varPhi(\lambda\)) eine im Stieltjes-Lebesgueschen Sinn bezüglich der \(E_\lambda f\) integrierbare Funktion, so läßt sich die Operation \(\varPhi_E(A) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \varPhi(\lambda) \, dE_\lambda\) bilden. Diese Operationen werden näher untersucht. Ist \(\varPhi_1(\lambda) \cdot \varPhi_2 (\lambda) \equiv 0\), so sind \(\varPhi_{1 E}(A)\) und \(\varPhi_{2E} (A)\) disjunkt; daraus ergibt sich, daß den unteren bzw. oberen Einhüllenden von endlich und unter gewissen Voraussetzungen auch von unendlich vielen \(\varPhi_i (\lambda)\) die Operationen \(\inf \{\varPhi_{iE}(A)\}\) bzw. \(\sup \{\varPhi_{iE}(A)\}\) entsprechen. Daraus ergibt sich leicht, daß für alle bezüglich \(E_\lambda\) integrablen Funktionen \(\varPhi (\lambda)\) die Zusammensetzung der Funktionen \(\varPhi_1(\varPhi_2)\) unmittelbar die Zusammensetzung der entsprechenden Operationen liefert. Diese Resultate werden noch auf Funktionen mehrerer Variablen \(\varPhi (\lambda_1, \lambda_2, \dots)\) übertragen; z. B. entspricht \(\lambda_1 \cdot \lambda_2\) das Produkt \(AB\) der Operationen. Ist \(c\varPhi(\lambda, \mu) = \varPhi(c\lambda, c\mu)\), also \(\varPhi\) positiv homogen von der 1. Ordnung, so wird \(\varPhi_E(A, B)\) sogar von \(E\) unabhängig. Die Arbeit schließt mit einigen Bemerkungen über mögliche Erweiterungen des Fundamentalbereiches \(\varOmega\).