Su di un tema di concorso. (Q5922007)

Die Aufgabe lautet: In einer Ebene ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem \(Oxy\) gegeben. Auf der \(x\)-Achse liegen zwei feste Punkte \(F, F'\) mit den Abszissen \(+ c\) und \(-c\) und ein Punkt \(V\) mit der Abszisse \(c\sqrt 2\) (\(c > 0\)). (a) Man soll die Gleichung des Ortes \(\varGamma_1\) der Punkte \(P\), für die \(PF \cdot PF'= c^2\), und die Gleichung des Ortes \(\varGamma_2\) der Punkte \(P\), für die \(PV : PF =\root 4\of{2}\) ist, bestimmen. (b) \(\varGamma_1\) ist eine Lemniskate, \(\varGamma_2\) ein Kreis. Man soll die Polarkoordinaten der Schnittpunkte von \(\varGamma_1\) und \(\varGamma_2\) bestimmen. (c) Man soll den Inhalt \(A\) des Gebiets der inneren Punkte eines Lemniskatenblattes bestimmen, die außerhalb von \(\varGamma_2\) liegen, und den Ausdruck \(A\) für den Fall \(c=4\) numerisch bis auf zwei Dezimalstellen auswerten. Verf. gibt eine analytische Behandlung der Aufgabe und ergänzt die Ergebnisse durch rein geometrische Betrachtungen.