Hamilton's canonical equations for the motion of wave groups. (Q5922056)

Gegeben eine sehr allgemeine lineare Wellengleichung: \[ F\left(x,y,z,t,\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}, \frac{\partial}{\partial t}\right)\psi=0. \] Es werden Lösungen von der Form \(\psi = ae^{i\chi}\) betrachtet (Amplitude \(a\) und Phase \(\chi\) Funktionen des Ortes und der Zeit). Orts- und zeitabhängige Frequenz und Komponenten des Wellenvektors werden definiert durch: \[ -2\pi f=\frac{\partial\chi}{\partial t},\quad 2\pi p_x=\frac{\partial\chi}{\partial x}, \ldots \] Unter der Voraussetzung, daß das Medium in Bezirken von der Größenordnung einiger Wellenlängen und während der Dauer einiger Perioden als homogen betrachtet werden kann, ergibt sich als Bedingung zwischen Wellenvektor und Frequenz \[ F\left(x,y,z,t,i\frac{\partial\chi}{\partial x}, i\frac{\partial\chi}{\partial z}, i\frac{\partial\chi}{\partial t} \right)=0. \] Weiter kann man folgende Gleichungen für die Bewegung eines Wellenpaketes ableiten: \[ \frac{dx}{du}=\frac{\partial F}{\partial(2\pi i p_x)},\ldots, \frac{dt}{du}=-\frac{\partial F}{\partial(2\pi i f)}, \frac{d(2\pi i p_x)}{du}=-\frac{\partial F}{\partial x},\ldots, \frac{d(2\pi i f)}{du}=\frac{\partial F}{\partial t}, \] wobei die Bewegung in Parameterform \(x=x(u),\ldots, t = t (u)\) dargestellt ist. Diese Gleichungen gehen in die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen der Dynamik über, wenn man setzt: \[ E = hf, P_x = hp_x,\ldots, \] wo \(E\) die Energie, \(P_x,\ldots\) die Impulse sind und \(h\) eine Proportionalitätskonstante ist. -- In der Wellenmechanik pflegt man auf dem umgekehrten Wege eine Wellengleichung aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen abzuleiten.