On decimals of irrational numbers. (Q5922071)

Es sei \(a_0, a_1, a_2, \cdots\) die \(m\)-adische Entwicklung einer Zahl \(\theta\) und \(\theta_n = 0, a_na_{n+1} \cdots\) für \(n =1,2, 3,\dots\); die \(\theta_n\) sind also die auf ein Einheitsintervall reduzierten Reste modulo Eins der Zahlen \(\theta m^n\). Verf. beweist elementar, daß die Folge der \(\theta_n\) dann und nur dann endlich viele Häufungspunkte besitzt, wenn \(\theta\) rational ist. Er gibt auch ein Beispiel von irrationalen Zahlen \(\theta\), für welche die Folge \(\theta_n\) abzählbar unendlich viele Häufungspunkte hat. Als Anwendung wird gezeigt, daß, wenn \(\theta = \root a \of {m}\) irrational ist, die auf ein Einheitsintervall reduzierten Reste modulo Eins der Potenzen von \(\theta\) unendlich viele Häufungspunkte haben, während dies z. B. für die Potenzen von \(2 + \sqrt{2}\) nicht der Fall ist. Verf. scheint die Arbeit des Ref. (Diss. Paris 1938; Ann. Scuola norm. sup. Pisa, Sci. fis. mat. (2) 7 (1938), 205-248; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 994) nicht gekannt zu haben, in der die algebraischen Zahlen mit dieser Eigenschaft charakterisiert worden sind.