Further investigations into the periodic Lamé functions. (Q5922076)

Die Laméschen Funktionen sind die Lösungen der Differentialgleichung \[ \frac {d^2 y}{dx^2} = \{n(n+1)k^2\text{sn}^2u - h\}y, \tag{1} \] worin sn \(u\) die Funktion sinus amplitudinis mit dem Modul \(k\) bedeutet. Es sei \(k\) reell und \(k^2 \leqq 1\); \(n\) ist eine reelle, nicht notwendig ganzzahlige Größe. Periodische Lösungen von (1) existieren, bei gegebenem \(n\), für gewisse zugehörige ``charakteristische'' Werte von \(h\). In der ersten Arbeit werden die Lösungen von (1) mit der reellen Periode \(2K\) oder \(4K\) (\(K =\) vollständiges elliptisches Integral erster Gattung zum Modul \(k\)) untersucht; bei gegebenem reellen \(n\) bestimmen sich die zugehörigen Werte von \(h\) aus einer Gleichung für \(h\), die die Form ``\(h=\) einem Kettenbruch mit von \(h\) abhängigen Nennern'' besitzt; für ganzzahlige Werte von \(n\) bricht der Kettenbruch ab, und man erhält algebraische Gleichungen für \(h\); diese haben verschiedene Gestalt, je nachdem, ob man die Lösung \(y\) in einer der Formen: \[ A_0 + \sum_r A_{2r} \text{sn}^{2r}\;u, \quad \text{bzw.}\quad \text{cn }u \left\{\sum_r \;B_{2r+1} \text{ sn}^{2r+1}\;u\right\} \] für den Fall einer geraden bzw. ungeraden Lösung mit der Periode \(2K\) oder in der Form \[ \text{cn }u \left\{A_0 + \sum_r A_{2r} \text{sn}^{2r}\;u\right\} \quad \text{bzw.}\quad \sum_r \;B_{2r+1} \text{ sn}^{2r+1}\;u \] für den Fall einer geraden bzw. ungeraden Lösung mit der Periode \(4K\) ansetzt. Für diese Lösungen mit der Periode \(2K\) bzw. \(4K\) werden die ersten zwei charakteristischen Werte von \(h\) berechnet, und zwar für \(n=-^1/_2\), und \(n = 0, 1, 2, \dots, 25\) und \(k^2 =\) 0,1; 0,5; 0,9. Die zugehörigen periodischen Laméschen Funktionen der Periode \(2K\) werden mit Ec\(_n^{2m}(u, k^2)\) bzw. Es\(_n^{2m+2}(u, k^2)\) bezeichnet; die ganze Zahl \(2m\) bzw. \(2m+2\) (\(m = 0, 1, 2,\dots\)) gibt die Anzahl der Nullstellen der betreffenden Funktion im Intervall \(0\leqq u < 2K\) an. Die periodischen Laméschen Funktionen der Periode \(4K\) werden mit Ec\(_n^{2m+1}(u)\) bzw. Es\(_n^{2m+1}(u)\) bezeichnet. Der obere Index gibt wieder die Anzahl der Nullstellen im Intervall \(0 \leqq u < 2K\) an. Für große Werte von \(n(n + 1)k^2\) werden asymptotische Näherungsformeln für die charakteristischen Werte von \(h\) abgeleitet. Läßt man \(n \to \infty\) wachsen, so daß gleichzeitig \(k \to 0\) geht und limes \(n(n+ 1)k^2=-4\theta\) existiert, so geht Ec\(_n^{2m}\) in die Mathieusche Funktion ce\(_{2m}(u,\theta)\) über usw. Im Falle \(k^2 =1\) gehen die betrachteten periodischen Laméschen Funktionen in Kugelfunktionen vom Argument \(\mathfrak T \mathfrak a \mathfrak n\mathfrak g \;u\) über. -- Die Integralgleichungen für die Laméschen Funktionen, die schon früher für ganzzahlige Werte von \(n\) abgeleitet wurden, gelten auch für beliebige reelle Werte von \(n\). In der zweiten Arbeit werden die Laméschen Funktionen, einer sonst nicht weiter verfolgten Anregung von Hermite nachgehend, in Reihen der Form \[ \sum [A_p \cos\, (p \text{ am } u) + B_p \sin\, (p \text{ am }u)] \tag{2} \] entwickelt; für Funktionen der Periode \(2K\) oder \(4K\) und reelle Werte von \(n\) konvergieren diese Reihen, falls \(k^2 < 1\) ist; für ganzahlige Werte von \(n\) brechen sie ab. Die Reihen gestatten ein besseres Arbeiten mit den Laméschen Funktionen als die Potenzreihen in sn \(u\), insbesondere auch für Zwecke der numerischen Auswertung; ferner liefert ihre Verwendung einen Beweis des Satzes: Die Differentialgleichung (1) besitzt niemals zwei linear unabhängige Lösungen der Periode \(2K\) oder \(4K\), wenn \(n\) einen reellen nicht ganzzahligen Wert hat. Bisher war nur bekannt, daß bei ganzzahligen Werten von \(n\) und solchen Werten von \(h\), für die eine Lösung von (1) ein Lamésches Polynom ist, die andere (linear unabhängige) Lösung nicht periodisch sein kann. Weiterhin wird der Kern einer Integralgleichung, welcher die Laméschen Polynome genügen, in eine Reihe nach Laméschen Polynomen entwickelt, und schließlich werden allgemein die periodischen Lösungen von (1) näher untersucht.