The asymptotic expansion of the generalized hypergeometric function. (Q5922077)

Betrachtet wird die hypergeometrische Funktion \[ _pF_q (z) = \sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac {f(n)}{n!}z^n, \;\text{ wo } \;f(t) = \prod\limits_{r=1}^p \varGamma (\beta_r + \alpha_r t) : \prod\limits_{r=1}^q \varGamma (\mu_r + \varrho_r t); \;\, \alpha_r, \beta_r \;\text{ reell } > 0, \] \(\varkappa =1 + \sum\limits_r \varrho_r - \sum\limits_r \alpha_r>0\); die Reihe möge keine sinnlosen Glieder enthalten und stellt dann eine ganze Funktion dar. In einer früheren Arbeit (J. London math. Soc. 10 (1935), 287-293; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 407) hat Verf. ohne Beweise das Verhalten in einer vollen Umgebung von \(z =\infty\) durch asymptotische Reihen beschrieben. Benötigt werden hierzu 1) ``algebraische'' Entwicklungen \(P (z)\) (\(=\) irreguläre formale Potenzreihen nach reellen fallenden Potenzen von \(z\)), 2) ``Exponentialentwicklungen'' (der Form exp (\(az^\alpha\)) \(P (z)\)). Je nach dem Wert von \(\varkappa\) ist die Ebene durch \(p\) (\(0 \leqq p \leqq 2\)) Halbstrahlen in Winkelräume zu zerlegen, in deren Innern man mit algebraischen oder (\textit{wachsenden}!) exponentiellen Entwicklungen auskommt, während zur Überdeckung der Randstrahlen Überlagerung von Reihen beider Arten erforderlich ist. Für diese allgemeinen Verhältnisse sind die Beweise inzwischen (Philos. Trans. R. Soc. London, A 238 (1940), 423-451; F. d. M. 66, 352 (JFM 66.0352.*)) gegeben worden. Hier handelt es sich nun um ein spezielles, aber bemerkenswertes Vorkommnis: Es kann sein, daß in einem Winkelraum die algebraische Entwicklung ausschlaggebend ist, und daß sie abbricht! Dann erhält man dort für den Rest die unbefriedigende Fehlerabschätzung \(O(z^{-N})\) für jedes positive \(N\). Der Fall tritt ein, wenn \(f (t)\) nur endlich viele (insbesondere gar keine) Pole hat, und wenn dann \(1\leqq \varkappa <2\), und zwar im Winkelraum \(\dfrac {\varkappa\pi}2 < \text{ arc } z < 2\pi - \dfrac {\varkappa\pi}2\). Verf. zeigt nunmehr, daß der Fehler gegenüber dem algebraischen Bestandteil jetzt eine (\textit{abnehmende}) asymptotische Exponentialentwicklung gestattet, die für polfreies \(f (t)\) dann allein auftritt. Insbesondere hat man diesen Fall bei \({}_0F_q (z)\) (für passendes \(\varkappa\)), und diese speziellen Funktionen werden auch zuerst (mit vollständiger Induktion nach \(q\)) behandelt. Im allgemeinen Falle der betrachteten Art ist, schon bevor man in die nicht in Kürze wiederzugebenden Restabschätzungen eintreten kann, die besondere Gestalt des \(\varGamma\)-Produkts \(f (t)\) zu untersuchen und die Partialbruchzerlegung herzustellen.