Inequalities for the logarithmic derivatives of a polynomial. (Q5922081)

Mit einer neuen Fassung der Cartanschen Abschätzung des Produktes \(\prod\limits_1^n (z - a_k)\) nach unten ergibt sich unmittelbar: \[ \sum_1^n \left| \frac{1}{z - a_k}\right|^m < \frac{n^{\alpha m}}{H^m} \cdot \sum_{p=1}^n p^{-\alpha m} \] in der ganzen \(z\)-Ebene, ausgenommen höchstens \(n\) Kreislein mit Radien \(h_k\), für die \(\sum h_k^{\tfrac 1\alpha} \leqq (2H)^{\tfrac 1\alpha}\) gilt. Etwas schwieriger ist der Beweis des folgenden Satzes: Es gilt \(\left|\sum \dfrac{1}{z - a_k}\right| < H\) (\(H > 0\)) längs jeder Geraden bis auf gewisse Intervalle von der Gesamtlänge \(< \dfrac{2en}{H}\).