On the summability of double Fourier series. (Q5922155)

Die Arbeit beschäftigt sich, wie die vorstehend besprochene, mit der Frage nach Summationsmethoden, welche für die Fouriersche Doppelreihe einer Funktion \(f(x, \,y) \in L\) wirksam sind. Das Hauptresultat lautet: Ist \(f(x, \,y)\) eine bezüglich \(x\) und \(y\) mit \(2\pi\) periodische Funktion der Klasse \(L\), so ist ihre Fouriersche Doppelreihe fast überall restringiert \((C, \,1, \,1)\)-summierbar, d. h. für die arithmetischen Mittel \(\sigma_{mn}(x, \,y)\) der Teilsummen der Fourierschen Doppelreihe von \(f(x, \,y)\) gilt fast überall \[ \sigma_{mn}(x, \,y) \to f(x, \,y), \] wenn für irgendein festes \(\lambda \geqq 1\) die Indizes \(m\) und \(n\) so gegen \(+\infty\) streben, daß \[ m/n \leqq \lambda \quad \text{und} \quad n/m \leqq \lambda \tag{*} \] bleiben. Weiter wird unter anderem gezeigt: Die Funktion \(\sigma_{\lambda}^{*}(x, \,y; \,f)= \text{ Max } |\, \sigma_{mn}(x, \,y; \,f) \,|\) für \(m, \,n \geqq 1\), \(m/n \leqq \lambda\), \(n/m \leqq \lambda\) erfüllt für jedes \(\varepsilon\) aus \(0 < \varepsilon < 1\) die Ungleichung \[ \left\{ \int\limits_{-\pi}^{+\pi} \int\limits_{-\pi}^{+\pi} [\sigma_{\lambda}^{*}(x, \,y; \,f)]^{1-\varepsilon} \,dxdy \right\}^{\frac{1}{1-\varepsilon}} \leqq \frac{A \lambda}{\varepsilon} \int\limits_{-\pi}^{+\pi} \int\limits_{-\pi}^{+\pi} |\,f(x, \,y)\,| \,dxdy \] mit einer absoluten Konstanten \(A\). Ferner gilt für jedes feste \(\lambda \geqq 1\) \[ \int\limits_{-\pi}^{+\pi} \int\limits_{-\pi}^{+\pi} |\, \sigma_{mn}(x, \,y; \,f)-f(x, \,y) \,|^{1-\varepsilon} \,dxdy \to 0, \] wenn \(m\), \(n\) so gegen \(+\infty\) streben, daß (*) erfüllt bleibt. Entsprechende Sätze gelten für die \((C, \,\alpha, \,\beta)\)-Mittel mit \(\alpha\), \(\beta>0\) und die Poissonsche Summation. Die Ergebnisse lassen sich auf die Fourierreihen von Funktionen mehrerer Veränderlichen übertragen.