Two infinite integrals. (Q5922161)

Es handelt sich um die beiden Integrale: \[ F(\lambda, \,\vartheta)=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{0}^{\infty} e^{i\lambda \,\cosh \,t} \frac{\sin \,\vartheta}{\cosh \,t+\cos \,\vartheta} \,dt, \;\; G(\lambda, \,\vartheta)=\frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty} e^{i\lambda \,\cosh \,t} \frac{\cos \,\dfrac{\vartheta}{2} \,\cosh \, \dfrac{t}{2}} {\cosh \,t+\cos \,\vartheta} \,dt, \] die bei Beugungsproblemen auftreten (\textit{F. Kottler}, Ann. Physik 71 (1923), 457-508; F.~d.~M. 49, 344). Es ist \(\mathfrak{I}(\lambda)>0\), \(|\, \mathfrak{R}(\vartheta) \,|<\pi\) vorausgesetzt. Zuerst wird eine neue Fourier-Entwicklung hergeleitet: \[ F(\lambda, \,\vartheta)=\frac{\vartheta}{2\pi} e^{-i\lambda \,\cos \,\vartheta} +\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \sin \,n \vartheta \left[ \frac{\partial}{\partial \nu} \{ e^{-\frac{1}{2} \nu \pi i} \, I_{\nu}(\lambda) \} \right]_{\nu=n}; \] ihre Konvergenz ist vergleichbar mit der einer Exponentialreihe vom Argument \(\frac{1}{2} |\,\lambda\,| \,e^{\mathfrak{I}(\vartheta)}\). Weiter ergeben sich eine gut konvergente Entwicklung von \(F\) nach Lommelschen Funktionen, Berechnung der Koeffizienten der früher von \textit{G. N. Watson} (Proc. Edinburgh math. Soc. (2) 5 (1938), 174-181; F.~d.~M. 64\(_{\text{I}}\), 350) angegebenen Entwicklungen von \(F\) und \(G\) nach Potenzen von \(\sin \, \dfrac{\vartheta}{2}\) mit Hilfe von Whittakers konfluenten hypergeometrischen Funktionen sowie schließlich die interessante Beziehung: \[ G(\lambda, \,\vartheta)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} e^{-i\lambda \, \cos \, \vartheta} \int\limits_{\sqrt{-2i \lambda \,\cos \,\frac{\vartheta}{2}}}^{\infty} e^{-t^2} \,dt \] zwischen \(G\) und der Gaußschen Fehlerfunktion.