Sur les déterminants récurrents et les singularités d'une fonction donnée par son développement de Taylor. (Q5922162)

Sei \(f(z)\) eine analytische Funktion, definiert durch die Potenzreihe \[ \frac{a_0}{z}+\frac{a_1}{z^2}+\cdots+\frac{a_n}{z^{n+1}}+\cdots \tag{1} \] und seien \[ A_k^{(n)}= \begin{vmatrix} \l\quad&\l\quad&\l\quad&\l\\ a_k&a_{k+1}&\hdots&a_{k+n-1}\\ a_{k+1}&a_{k+2}&\hdots&a_{k+n}\\ \hdotsfor4\\ a_{k+n-1}&a_{k+n}&\hdots&a_{k+2n-2} \end{vmatrix} \] die Rücklaufdeterminanten der Koeffizientenfolge \[ a_0, \,a_1, \ldots \!, a_n, \ldots \tag{2} \] Was läßt sich über die Singularitäten der Funktion \(f(z)\) sagen, wenn die beiden Folgen \[ A_0^{(1)}, \,A_0^{(2)}, \ldots \!, A_0^{(n)}, \ldots, \tag{3} \] \[ A_1^{(1)}, \,A_1^{(2)}, \ldots \!, A_1^{(n)}, \ldots \tag{4} \] bekannt sind? Dies ist die vom Verf. behandelte Frage. In der Tat ist die Koeffizientenfolge (2) durch die Determinantenfolgen (3) und (4) vollständig bestimmt, sofern die Glieder der letzten von Null verschieden sind. Während aber die Folge (2) einseitig stark auf die Singularitäten des Konvergenzkreises (1) reagiert, spiegeln sich in den \(A_0^{(n)}\) die Eigenschaften der Singularitäten als Ganzes. Bezeichnet \(\tau(E)\) den transfiniten Durchmesser der Singularitätenmenge von \(f(z)\), so gilt \[ \underset{n \to \infty} {\text{lim sup}} \,|\, A_0^{(n)} \,|^{1:n^2} \leqq \tau(E) \tag{5} \] und \[ \underset{n \to \infty} {\text{lim sup}} \, |\, A_0^{(n)} \,|^{1:n^2 \,\log \,n} \leqq e^{-1: \varrho}, \tag{6} \] wenn \(f(z)\) überall bis auf eine einzige wesentliche Singularität der Ordnung \(\varrho\) meromorph ist. Diese beiden Resultate von \textit{G. Pólya} (Math. Ann., Berlin, 99 (1928), 687-706; F.~d.~M. 54, 340) bzw. \textit{R. Wilson} (Proc. London math. Soc. (2) 39 (1935), 363-371; F.~d.~M. 61\(_{\text{I}}\), 308) bilden den Ausgangspunkt. Zunächst beweist Verf. die Invarianz der Ausdrücke \[ \underset{n \to \infty} {\text{lim sup}} \, |\, A_k^{(n)} \,|^{1: \varPhi(n)}, \;\; \varPhi(n) \geqq n^2, \;\; \frac{\varPhi(n+1)}{\varPhi(n)} 1 \] bei linearer Transformation von \(f(z)\) mit rationalen Funktionen als Koeffizienten. Mit neuen Methoden verallgemeinert er dann die Wilsonsche Ungleichung: Ist \(f(z)\) überall bis auf endlich viele wesentliche Singularitäten der Ordnung \(\varrho_i\) \((i=1, \,2, \ldots \!, s)\) meromorph, so gilt \[ \underset{n \to \infty} {\text{lim sup}} \, |\, A_0^{(n)} \,|^{1:n^2 \,\log \,n} \leqq e^{-1: (\varrho_1+\varrho_2+\cdots+\varrho_s)}. \tag{7} \] Durch Heranziehen der Kettenbruchentwicklung \[ f(z)=\frac{k_1 \;\;\; |}{| z-l_1}-\frac{k_2 \;\;\; |}{| z-l_2}-\cdots\frac{k_n \;\;\; |}{| z-l_n}-\cdots \] zeigt Verf., daß zu vorgegebener Folge (3) eine Menge von Elementen (1) gehört von verschiedensten analytischen Eigenschaften (beliebiger Meromorphiebereich, wesentliche Singularitäten von verschiedenster Lage und Ordnung). Damit kann in (5) und (6) Ungleichheit eintreten, während Pólya und Wilson nur Beispiele mit Gleichheit gewinnen konnten. Weiter zeigt sich, daß auch die vollständige Kenntnis der Folge (3) nicht genügt für exakte Charakterisierungen der Singularitätenmenge. Dagegen gibt Verf. eine umfassende Klasse von Funktionen an, für welche in (6) der Gleichheitsfall eintritt. Gilt nämlich für beliebiges komplexes \(\alpha\) \[ \underset{n \to \infty} {\text{lim sup}} \, |\, l_n-\alpha \,|^{1: \log \,n} \leqq \underset{n \to \infty} {\text{lim sup}} \, |\,k_n\,|^{1: 2 \,\log \,n} =e^{-1: \varrho}, \] und ist die zugehörige Funktion \(f(z)\) überall meromorph, bis auf eine wesentliche Singularität der Lage \(\alpha\) und der Ordnung \(\varrho\), so gilt in (6) Gleichheit. Die Beziehung der \(A_k^{(n)}\) zur obigen Kettenbruchentwicklung zeitigt damit ein erstes Beispiel, wo Eigenschaften der beiden Folgen (3) und (4) eine exakte Charakterisierung der Singularitäten von \(f(z)\) erlauben. Analog liefern die Integrale \(f(z)=\int\limits_{\alpha}^{\beta} \dfrac{\varphi(x)dx}{z-x}\) mit \(\varphi(x)\) reell, stetig, mit endlich vielen Zeichenwechseln, gleich null auf endlich vielen Teilintervallen oder isolierten Punkten und \(\neq 0\) auf der Restmenge \(E\) vom transfiniten Durchmesser \(\tau\), eine große Klasse von Funktionen mit Gleichheit in (5). Die Untersuchung der Rücklaufdeterminanten von Funktionen der Form \(f(z)=\sum\limits_{\nu=1}^{\infty} \dfrac{r_{\nu}}{z-s_{\nu}}\) ergibt das Resultat: Bei vorgegebener Singularitätenmenge \(E\) und vorgegebenem \(\theta\) mit \(0 \leqq \theta \leqq 1\) existiert eine Funktion \(f(z)\) mit \(E\) als Singularitätenmenge, welche (5) in eine Gleichung mit \(\theta \tau\) an Stelle von \(\tau\) verwandelt. Analoges gilt für (7). Die Ungleichungen (5) und (7) sind also die ``bestmöglichen''.