Sur un problème de M. Carleman. (Q5922300)

Ein Kontinuum \(E\) in der komplexen \(z\)-Ebene, das den Punkt \(z=\infty\) enthält, heißt Carlemansches Kontinuum, wenn für irgendeine stetige Funktion \(f(z)\) auf \(E(|z|<\infty)\) und irgendeine stetige Funktion \(\varepsilon(r)\), \(r\geqq0\), eine ganze Funktion \(F(z)\) existiert, daß \[ |f(z)-F(z)|<\varepsilon(|z|). \] (\textit{T. Carleman}, Ark. Mat. Astron. Fysik 20 B (1927), Nr. 4; F. d. M. 53, 237; \textit{A. Roth}, Comment. math. Helvetici 11 (1938), 77-125; F. d. M. \(64_{\text{II}}\), 1067). Verf. beweisen: \(E\) ist dann und nur dann ein Carlemansches Kontinuum, wenn 1) \(E\) nirgends dicht ist, 2) eine wachsende Funktion \(r(t)\), \(\lim\limits_{t\to\infty}r(t)=\infty\), existiert, so daß jeder Punkt \(z\) außerhalb \(E\) mit \(z=\infty\) durch eine Jordankurve verbunden werden kann, die ganz außerhalb \(E\) und außerhalb des Kreises \(|\zeta|< r(|z|)\) verläuft.