Hamilton's canonical equations for the motion of wave groups. (Q5922335)

Das bekannte Näherungsverfahren, das den Übergang von der Wellenoptik zur geometrischen Optik vermittelt, wird auf die Integration allgemeiner Klassen von linearen partiellen Differentialgleichungen angewendet: man suche eine Lösung von der Gestalt \(\varPsi=ae^{i\chi}\) und nehme an, daß die Amplitude \(a\) viel langsamer veränderlich ist als die Phase \(\chi\). In dem Falle, in dem diese Näherung zulässig ist, bewegt sich das durch \(\varPsi\) definierte Wellenpaket längs einer Bahn, die durch folgendes kanonische System von Differentialgleichungen bestimmt ist: \[ \dfrac{dx_1}{du} =\dfrac{\partial F}{\partial i\chi_1},\cdots;\quad \dfrac{di\chi_1}{du}=-\dfrac{\partial F}{\partial x_1},\cdots; \] dabei bedeuten \(x_1,\ldots\) die unabhängigen Veränderlichen von denen \(\varPsi\) abhängt, \(\chi_1,\ldots\) die partiellen Ableitungen von \(\chi\) nach \(x_1,\ldots\) und \(F\) diejenige Funktion, die man aus der linken Seite der partiellen Differentialgleichung für \(\varPsi\) durch die Substitution \[ \left(\dfrac{\partial}{\partial x_1}\right)^{\nu_1} \left(\dfrac{\partial}{\partial x_2}\right)^{\nu_2} \cdots \varPsi \to (i\chi_1)^{\nu_1}(i\chi_2)^{\nu_2}\cdots \] bekommt.