Sur un problème de M. Hausdorff. (Q5922363)

Anschließend an eine Fragestellung von \textit{Hausdorff} beweist Verf. die Äquivalenz folgender Aussagen: (\(P_1\)) Ist \(E\) von der Mächtigkeit \(\aleph_1\), so existiert eine abzählbare Familie \(\varPhi \) von Untermengen aus \(E\), so daß jede Untermenge von \(E\) in der Form \(\displaystyle \lim_n E_n\) sich darstellen läßt, wo \(E_n\in\varPhi \). \((P_2)\) wie \((P_1)\), wobei statt \(\lim \,E_n\) jetzt \(\varlimsup\,E_n\) gesetzt wird. \((P_3)\) Ist \(E\) von der Mächtigkeit \(\aleph_1\), so existiert eine abzählbare Familie \(\varPhi \) von Untermengen von \(E\), so daß jede Untermenge von \(E\) zur Familie \(\varPhi _{\sigma \delta }\) gehört. \((P_4)\) Es existiert eine lineare nichtabzählbare Menge \(N\), deren jede Untermenge ein \(F_{\sigma }\) in bezug auf \(N\) ist.