On an exponential sum (Q5922398)

Es sei \(P(x)\) ein Polynom mit ganz-rationalen Koeffizienten und vom Grade \(k \ge 3\). Es seien \(R(x)\), \(R_1(x)\), \ldots, \(R_s(x)\) die verschiedenen unter den irreduziblen Faktoren von \(P'(x)\) im ganzzahligen Polynombereich, \(\varDelta\) die Diskriminante des Polynoms \(R(x)R_1(x)\cdots R_s(x)\), also \(\varDelta\) ganz und von 0 verschieden. Dann gibt es zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein nur von \(k\) und \(\varepsilon\) abhängiges \(c\) mit der Eigenschaft, daß für jedes ganze \(q>0\) \[ \left|\sum_{n=0}^{q-1} e^{\tfrac{2\pi i P(x)}q}\right| < c\cdot (\varDelta ^{2k^2}, q)q^{1-\tfrac 1k+\varepsilon} \] ist, wo das Klammersymbol rechts den größten gemeinsamen Teiler bezeichnet.