Note on an inequality. (Q5922416)

Verf. beweist: Ist \(f \,(x)\) in \(\langle a, \,b \rangle\) differenzierbar und \(M\) die obere Grenze von \(|\, f' \,(x) \,|\) in \(\langle a, \,b \rangle\), so gilt \[ \left|\, \int\limits_{a}^{b} f \,(x) \,dx - \frac{1}{2} \, (b-a) \, \left\{ f \,(a)+f \,(b) \right\} \, \right| < \frac{M \,(b-a)^2}{4} - \frac{1}{4M} \left\{ f \,(a)-f \,(b) \right\}^2. \] Für \(f \,(a)=f \,(b)=0\) geht dies in eine bekannte Ungleichung (\textit{Pólya-Szegö}, Aufgaben und Lehrsätze, Bd. II (1925; F.~d.~M. 51, 173), 62) über. (IV 3 B.)