Sur les séries orthogonales. (Q5922418)

Es sei \(\{ \, \varphi_n \,(x) \, \}\) ein in \((0, \,1)\) orthogonales und normiertes Funktionensystem. Über solche Systeme wird bewiesen: I. Das Bestehen der Beziehung \[ \underset{\overline{n \to \infty}} \lim \int\limits_{0}^{1} |\, \varphi_n \,(x) \,| \,dx>0 \] ist notwendig und hinreichend dafür, daß für jede Reihe \(\sum\limits_{n} a_n \, \varphi_n \,(x)\), die fast überall konvergiert, \(a_n=o \,(1)\) gilt; ebenso dafür, daß für jede Reihe \(\sum\limits_{n} a_n \, \varphi_n \,(x)\), für die \(\sum\limits_{n} |\, a_n \, \varphi_n \,(x) \,|\) fast überall konvergiert, \(\sum\limits_{n} |\, a_n \,| < \infty\) gilt. II. Ein zweiter Teil der Arbeit befaßt sich mit Reihen \(\sum\limits_{n} a_n \, \varphi_n \,(x)\), zu denen eine Funktion \(f \,(x) \in L^p\) \((1 \leqq p < \infty)\) existiert, für die \[ \lim_{n \to \infty} \int\limits_{0}^{1} |\,f \,(x) \sum\limits_{\nu=1}^{n} a_{\nu} \, \varphi_{\nu} \,(x) \,|^p \, dx=0 \] gilt (``Klasse \(m_p\)''), sowie mit Reihen \(\sum\limits_{n} a_n \, \varphi_n \,(x)\), zu denen eine Funktion \(f \,(x) \in L^q\) \((q \geqq 2)\) bzw. eine stetige Funktion \(f \,(x)\) existiert, für die \[ a_n=\int\limits_{0}^{1} f \,(x) \, \varphi_n \,(x) \,dx, \quad \int\limits_{0}^{1} f^2 \,(x) \, dx=\sum_{n} a_n^2 \] gilt (``Klasse \(m_q^{\prime}\)'' bzw. ``Klasse \(m_c^{\prime}\)''). U. a. wird gezeigt: 1) Sind die Funktionen \(\varphi_n\) beschränkt, so gibt es eine Teilfolge \(\{ \, \varphi_{n_{\nu}} \, \}\) derart, daß jede Reihe \(\sum\limits_{\nu} a_{\nu} \, \varphi_{n_{\nu}} \,(x)\) der Klasse \(m_q^{\prime}\) \((q \geqq 2)\) auch zur Klasse \(m_q\) gehört und fast überall konvergiert; überdies gilt für \[ S^* \,(x)=\underset{\nu} {\text{fin sup}} \sum_{i=1}^{\nu} a_i \, \varphi_{n_i} \,(x) \] die Abschätzung \[ \int\limits_{0}^{1} |\, S^* \,(x) \,|^q \, dx \leqq A_q \int\limits_{0}^{1} |\, f \,(x) \,|^q \, dx, \] wo \(A_q\) eine Konstante bedeutet. Für den Fall eines gleichmäßig beschränkten Systems \(\{ \, \varphi_{n} \, \}\) wird der Satz noch erweitert (vgl. \textit{S. Banach}, Bull. intern. Acad. Polonaise Sci. Lett., Cl. Sci. math. nat. A. 1933, 149-154; F.~d.~M. 59\(_{\text{I}}\), 306). 2) Sind die Funktionen \(\varphi_{n}\) stetig, so gibt es eine Teilfolge \(\{ \, \varphi_{n_{\nu}} \, \}\) derart, daß jede Reihe \(\sum\limits_{\nu} a_{\nu} \, \varphi_{n_{\nu}} \,(x)\) der Klasse \(m_c^{\prime}\) gleichmäßig konvergiert. III. Die Bedingung \[ \overline{\lim\limits_{n \to \infty}} \int\limits_{0}^{1} |\,\varphi_{n} \,(x) \,| \, dx>0 \] ist notwendig und hinreichend dafür, daß das System \(\{ \, \varphi_{n} \, \}\) eine Teilfolge \(\{ \, \varphi_{n_{\nu}} \, \}\) enthält, welche die Eigenschaft hat, daß eine Reihe \(\sum\limits_{\nu} a_{\nu} \, \varphi_{n_{\nu}} \,(x)\) dann und nur dann fast überall konvergiert, wenn \(\sum\limits_{\nu} a_{\nu}^2 < \infty\) gilt. IV. Von den im vierten Teil bewiesenen Sätzen seien genannt: Die Funktionen \(\varphi_{n} \,(x)\) seien stetig, und es gelte \[ \overline{\lim\limits_{n \to \infty}} \int\limits_{0}^{1} |\,\varphi_{n} \,(x) \,| \, dx>0. \] Dann enthält \(\{ \, \varphi_{n} \, \}\) eine Teilfolge \(\{ \, \varphi_{n_{\nu}} \, \}\) derart, daß für jede Reihe \(\sum\limits_{\nu} a_{\nu} \, \varphi_{n_{\nu}} \,(x)\), die überall konvergiert, notwendig \(\sum\limits_{\nu} |\, a_{\nu} \,|<\infty\) gilt. Dagegen gibt es eine Teilfolge \(\{ \, \varphi_{n_{\nu}} \, \}\), für die es zu jeder Zahlenfolge \((a_{\nu})\) mit \(a_{\nu}=o \,(1)\), \(\sum\limits_{\nu} |\, a_{\nu} \,|=\infty\) und jeder Zahl \(s\) einen Punkt \(x\) gibt, in dem \(\sum\limits_{\nu} a_{\nu} \, \varphi_{n_{\nu}} \,(x)=s\) gilt. Endlich gibt es eine Teilfolge \(\{ \, \varphi_{n_{\nu}} \, \}\) so, daß für jede Reihe \(\sum\limits_{\nu} a_{\nu} \, \varphi_{n_{\nu}} \,(x)\) der Klasse \(m_c^{\prime}\) notwendig \(\sum\limits_{\nu} |\, a_{\nu} \,|<\infty\) gilt.