Quelques théorèmes sur les séries orthogonales. (Q5922419)

I. Im ersten Teil der Arbeit wird zunächst ein Satz von \textit{Paley} (Proc. London math. Soc. 34 (1932), 241-264; F.~d.~M. 58\(_{\text{I}}\), 284) über das Walshsche Funktionensystem auf das Haarsche System übertragen: Es sei \[ f \in L^r \;(r>1), \quad f=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{2^{n-1}} a_{n, \,m} \, H_{n, \,m}, \] wo \(H_{n, \,m}\) die Haarschen Funktionen sind, also \(H_{n, \,m}=\sqrt{2^{n-1}}\) bzw. \(-\sqrt{2^{n-1}}\) in den Intervallen \(\left( (2m-2) \, 2^{-n}, \, (2m-1) \, 2^{-n} \right)\) bzw. \(\left( (2m-1) \, 2^{-n}, \, (2m) \, 2^{-n} \right)\) und \(H_{n, \,m} = 0\) außerhalb dieser beiden Intervalle. Dann gilt \[ A_r \int\limits_{0}^{1} \left\{ a_0^2+\sum_{n, \,m} a_{n, \,m}^2 \, H_{n, \,m}^2 \right\}^{\frac{r}{2}} \, dx \leqq \int\limits_{0}^{1} |\, f \,|^r \, dx \leqq B_r \int\limits_{0}^{1} \left\{ a_0^2+\sum_{n, \,m} a_{n, \,m}^2 \, H_{n, \,m}^2 \right\}^{\frac{r}{2}} \, dx, \] wo \(A_r\), \(B_r\) positive Konstanten bedeuten. Aus diesem Resultat werden noch einige weitere Sätze über das Haarsche Funktionensystem abgeleitet. II. Der zweite Teil der Arbeit bezieht sich auf Orthogonalreihen mit Lücken. In Verallgemeinerung eines Teils des im vorhergehenden Referat unter III. besprochenen Satzes wird gezeigt: Es sei \(\{ \, \varphi_n \, \}\) ein in \((0, \,1)\) orthogonales, normiertes Funktionensystem, das die Bedingung \[ \overline{\lim\limits_{n \to \infty}} \int\limits_{0}^{1} |\, \varphi_n \,(x) \,| \,dx>0 \] erfüllt. Dann gibt es eine Folge \(\{ \, \varphi_{n_i} \, \}\) derart, daß für jede Reihe \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i \,\varphi_{n_i} \,(x)\) die Gültigkeit von \[ \underset{\overline{\nu \to \infty}} \lim \sum_{i=1}^{\nu} a_i \,\varphi_{n_i} \,(x) > -\infty \] für fast alle \(x\) das Bestehen der Beziehung \[ \sum_{i=1}^{\infty} a_i^2 < \infty \] zur Folge hat. III. Der dritte Teil endlich enthält allgemeine Resultate zur Eindeutigkeitsfrage bei Orthogonalreihen: Es sei \(\{ \, \varphi_n \, \}\) ein in \((0, \,1)\) orthogonales, normiertes und vollständiges Funktionensystem. Dann läßt sich eine Reihe \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} a_i \, \varphi_i\) (nicht alle \(a_i = 0\)) und dazu eine Folge \(n_{\nu}\) angeben derart, daß die Folge der Teilsummen \(s_{n_{\nu}}=\sum\limits_{i=1}^{n_{\nu}} a_i \, \varphi_i \,(x)\) fast überall gegen 0 konvergiert. Ist zudem das System \(\{ \, \varphi_n \, \}\) gleichmäßig beschränkt, so kann noch \(a_i \to 0\) erreicht werden.