Über Interpolation. (Q5922430)

Die Verf. beweisen auf zwei Arten folgenden neuen Satz: Es sei \(p(x)\) eine im Bereiche \(\mathfrak g (-1 \leqq x \leqq 1)\) nach Lebesgue integrierbare Funktion derart, daß dort \[ p(x)\sqrt{1 - x^2} \geqq m > 0. \] Zu der Belegung \(p(x)\) gehöre die orthogonale Polynomfolge \(R_n(x)\) \((n = 0, 1, \dots)\); \(\mathfrak p_n\) sei die Folge der durch die \(n\) Wurzeln von \(R_n(x)\) gebildeten Punktgruppen. Wenn dann die Funktion \(f(x)\) in \(\mathfrak g\) gleichmäßig eine Lipschitz-Bedingung mit dem Exponenten \(\frac 12 + \delta\), \(\delta > 0\) erfüllt, so konvergieren dort die auf \(\mathfrak p_n\) gebildeten Lagrangeschen Schaltepolynome \(L_n[f(x)]\) gleichmäßig gegen \(f(x)\). Diese Aussage ist einem Ergebnisse von \textit{Shohat} (Ann. Math., Princeton (2) 34 (1933), 130-164; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 362) verwandt, das sich auf Belegungsfunktionen bezieht, die in \(\mathfrak g\) oberhalb \(m > 0\) liegen. Den \textit{Shohat}schen Satz beweisen die Verf. einfacher als bisher. Als wichtiges Beweismittel dient ihnen die bei Belegungen der genannten beiden Arten gültige Ungleichung \[ \sum_k^{1, n} |l_k (x)| < \text{ const } \cdot \sqrt{n}, \quad \sum_k^{1, n} |l_k(x)| < \text{ const } n, \] die sie in \(\mathfrak g\) für die Grundfunktionen \(l_k (x)\) der Einschaltung herleiten. -- Die Beziehungen zum einschlägigen Schrifttum erörtern sie sorgfältig.