Zur Theorie der Dirichletschen Reihen. (Q5922441)

Die für \(-\infty < t < + \infty\) erklärte Funktion \(f(ti)\) habe die Eigenschaft, daß \[ c (\lambda) = \lim_{\omega \to \infty} \frac 1{2\omega} \int\limits_{-\omega}^{+\omega} f(ti)e^{i\lambda t}\,dt \] verschwindet, falls nicht \(\lambda\) einen der Werte \(\log n\) (\(n = 1, 2, \ldots\)) hat; ferner sei \(c_n= c(\log n)\) und \[ D_n(x,\bar x) = \sum_{i=1}^n c_i \sum_{1\leqq \nu\leqq \tfrac ni} x_\nu \bar x_{\nu i}. \tag{1} \] Verf. beweist: 1) Falls \(|f(ti)| \leqq M\) ist und \(H_n\) das Maximum von (1) unter der Nebenbedingung \[ x_1 \bar x_1 + x_2 \bar x_2 + \cdots + x_n \bar x_n = 1 \tag{2} \] ist, so ist \(H_n \leqq M\) für jedes \(n\); 2) falls \(f(ti)=\sum\limits_{n=1}^\infty c_nn^{-ti}\) und \(\sum |c_n|\) konvergent ist, so kommt \(D_n(x, \bar x)\) unter der Nebenbedingung (2) bei hinreichend großem \(n\) jedem Wert von \(f(ti)\) beliebig nahe. Weiter gibt Verf. noch Anwendungen und Verschärfungen dieser Sätze.