Two infinite integrals. (Q5922454)

Für die in der Beugungstheorie von \textit{Kottler} (Ann. Physik (4) 71 (1923), 457-508) auftretende und auch von \textit{Copson} und \textit{Ferrar} (vgl. vorstehendes Referat) untersuchte Funktion \[ F(\lambda,\theta)=\frac1{2\pi} \int\limits_0^\infty e^{i\lambda \mathop{\text{cosh}} t} \frac{\sin\theta}{\mathop{\text{cosh}} t+\cos\theta}\, dt \] wird die Entwicklung \[ \begin{multlined} F(\lambda,\theta)=\frac\theta{2\pi} e^{-i\lambda\cos\theta} +e^{-i\lambda} \frac{\cos\frac12\theta}{2\sqrt{\pi^3}} \sum_{m=1}^\infty \frac{(2i\lambda)^m}{m!} \sum_{n=0}^{m-1} \frac{\varGamma(m-n-\frac12)}{(m-n-1)!}\\ \cdot \sin^{2n+1} \frac\theta2 \left[2\psi(m-n) -2\psi(2m-2n) +\psi(m+1) +\frac{\pi i}2 -\log\frac\lambda2 \right] \end{multlined} \] hergeleitet, \(\psi\) bedeutet wie üblich die logarithmische Ableitung der Gammafunktion. Für Zwecke der numerischen Berechnung für reelle, zwischen \(- \pi\) und \(\pi\) liegende Werte von \(\theta\) eignet sich die Entwicklung \[ F(\lambda,\theta) = \frac14\cos\frac\theta2 \sum_{n=0}^\infty f_n(\lambda)\sin^{2n+1} \frac\theta2 \] besser, deren Koeffizienten aus der Differenzengleichung \[ (2n + 1) f_n (\lambda) = (2n + 4i\lambda) f_{n-1}(\lambda) - 4i\lambda f_{n-2} (\lambda),\qquad n= 1,\, 2,\, 3,\,\ldots, \] im Verein mit den Anfangsbedingungen \[ \begin{aligned} f_{-1}(\lambda)&=\frac\pi2[iJ_0(\lambda)-Y_0(\lambda)],\\ f_0(\lambda)&=\frac4\pi e^{-i\lambda} \end{aligned} \] \[ {}+\frac2{\sqrt{\pi^3}} e^{-i\lambda} \sum_{m=1}^\infty \frac{\varGamma(m-\frac12)(2i\lambda)^m}{m!\,(m-1)!} \left[2\psi(m)-2\psi(2m) +\psi(m+1) +\frac{\pi i}2 -\log\frac\lambda2\right] \] rekursiv berechnet werden können. Ähnliche Entwicklungen werden für ein zweites, ebenfalls in der \textit{Kottler}schen Beugungstheorie auftretendes Integral (das jedoch noch einfacher durch die Fehlerfunktion ausgedrückt werden kann (Anm. d. Ref.)) gegeben. Ref. bemerkt, daß die Koeffizienten in beiden Fällen durch die Whittakerschen konfluenten hypergeometrischen Funktionen ausgedrückt werden können.