L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy pour l'équation des ondes. (Q5922493)

Verf. gibt eine Lösung des Cauchyschen Problems für lineare partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom normalen hyperbolischen Typus mit variablen Koeffizienten, und zwar ist die Lösung einheitlich für eine gerade und eine ungerade Anzahl \(m\) von unabhängigen Veränderlichen. Für den Fall der Wellengleichung (mit konstanten Koeffizienten) ist der Ansatz \[ I^\alpha f(P)=[H_m(\alpha)]^{-1} \int\limits_{D_S^P} f(Q)(r_{PQ})^{\alpha-m}\, dQ, \] wobei \(r^2_{PQ} = (x_1 - \xi_1)^2 - \ldots - (x_m - \xi_m)^2\), ferner \(D^P_S\) das von dem retrograden Kegel mit der Spitze in \(P\) und von der Fläche \(S\) begrenzte Gebiet bezeichnet und \[ H_m(\alpha)=\pi^{\frac{m-2}2} 2^{\alpha-1} \varGamma\left(\frac\alpha2\right)\varGamma\left(\frac{\alpha+2-m}2\right). \] Das Integral konvergiert für \(\alpha > m - 2\); für \(\alpha \leqq m - 2\) wird es vermöge analytischer Fortsetzung nach \(\alpha\) definiert, vorausgesetzt, daß \(f\) und \(S\) geeigneten Regularitätsvorausetzungen genügen. Für \[ \varDelta= \frac{\partial^2}{\partial x_1^2}\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}-\cdots\frac{\partial^2}{\partial x_m^2} \] ergibt dann die Greensche Formel \[ \begin{gathered} I^\alpha u(P) = [H_m(\alpha + 2)]^{-1} \int\limits_{D^P_S} \varDelta u (Q) (r_{PQ}^{\alpha+2-m}\,dQ \\ + [H_m (\alpha + 2)]^{-1} \int\limits_{S^P} \left[ \frac{\partial u(Q)}{\partial n} (r_{PQ})^{\alpha+2-m} - u(Q)\frac{\partial(r_{PQ})^{\alpha+2-m}}{\partial n} \right]\, dS . \end{gathered} \] Wegen \(I^0u (P) = u (P)\) folgt daraus die gewünschte Lösung. Die Annahme \(m \equiv 0\) bzw. \(m \equiv1\;(\text{mod}\, 2)\) wirkt sich in 1: \(H_m(2) = 0\) bzw. 1: \(H_m(2)\neq0\) aus (\(m > 2\)). Für den Fall variabler Koeffizienten tritt u. a., wenn \[ \varDelta u=\sqrt{g^{-1}}\frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sqrt g g^{ik} \frac{\partial u}{\partial x_k}\right), \] an Stelle von \(r_{PQ}\) eine Funktion \[ V^\alpha(P,Q)=\sum_{k=0}^\infty \frac{V_ks^{\alpha+2k-m}} {K_m(\alpha) L_m(\alpha+2k)}, \] wo \(s\) die geodätische Distanz von \(P\) und \(Q\) bezüglich der Metrik \(ds^2 = g_{ik}dx^idx^k\) bedeutet und \[ K_m(\alpha)=K2^{\frac\alpha2}\varGamma\left(\frac\alpha2\right),\quad L_m(\alpha) = L2^{\frac\alpha2}\varGamma\left(\frac{\alpha+2-m}2\right) \] gesetzt ist. Dabei ist \(\varDelta_Q V^{\alpha+2} (P, Q) = V^\alpha(P, Q)\). Wegen weiterer Einzelheiten sei auf die Arbeit selbst verwiesen.