Die Geometrie der Differentialgleichungen dritter Ordnung. (Q5922547)

Den Inhalt der Abhandlung bildet das Problem der Geometrisation des Gleichungssystems \[ \dfrac{d^3x^i}{dt^3}+\varGamma^i \biggl (t, x, \dfrac{dx}{dt},\dfrac{d^2x}{dt^2}\biggr)=0\qquad (i=1, 2, \ldots, n) \] in der Mannigfaltigkeit der Elemente \(\biggl(t, x^i, \dfrac{dx^i}{dt},\dfrac{d^2x^i}{dt^2}\biggr)\) gegenüber der Gruppe der Punkttransformationen \(\bar{x}^\lambda= \bar{x}^\lambda (x)\) und der Parametertransformationen \(\bar{t} = \bar{t}(t)\). Die Grundlage der Theorie bildet die Formel für das kovariante Differential eines kontravarianten Vektors \(X^i\), dessen Bestimmungszahlen bei Änderung des Parameters sich folgendermaßen transformieren: \(\bar{X}^i = \alpha^{\mathfrak k} X^i\biggl(\alpha=\dfrac{d\bar{t}}{dt}\biggr)\); die in Frage kommende Formel lautet \[ \delta X^i= dX^i + \varPi^i_{jk}X^jdx^k-\mathfrak k\mathfrak AX^idt; \] ihre Koeffizienten \(\varPi^i_{jk}\), \(\mathfrak A\) werden durch die Funktionen \(\varGamma^i\) und ihre Ableitungen ausgedrückt. Es wird weiter gezeigt, daß es vier Arten von kovarianten Ableitungen gibt; mit ihrer Hilfe werden die Krümmungsgrößen in üblicher Weise erhalten.