Canonical expressions in Boolean algebra. (Q5922582)

Die vorliegende Arbeit enthält Beiträge zur Darstellungstheorie in der Booleschen Algebra, jener Darstellungstheorie, die in erster Linie von Boole, Schröder und insbesondere von Poretsky entwickelt worden ist. Die benutzten Bezeichnungen sind die von E. H. Moore. -- Das Hauptstück der Arbeit ist das zweite Kapitel. Es enthält als neues Resultat das Theorem, daß es zu jedem Booleschen Ausdruck einen äquivalenten Ausdruck gibt, der ein syllogistisches Polynom ist. Der Begriff des syllogistischen Polynoms stammt vom Verf. Es ist dies ein Polynom, das jedes Polynom, das es enthält, ``formally included'' enthält. Ein Polynom \(p_1\) heißt formal enthalten in einem Polynom \(p_2\) dann und nur dann, wenn jedes ``monomial'' von \(p_1\) enthalten ist in einem ``monomial'' von \(p_2\). Ein ``monomial'' ist hierbei ein Boolescher Ausdruck, in dem das \({}'\)-Symbol -- wenn es vorkommt -- nur Buchstaben zukommt, und in dem das \(+\)-Symbol gar nicht vorkommt. -- Das dritte Kapitel enthält eine Anwendung der Booleschen Algebra auf den Prädikatenkalkül der ersten Stufe. Es wird ein Verfahren angegeben, durch das jedem Ausdruck dieses Kalküls eine unendliche Anzahl von Ausdrücken einer zweielementigen Booleschen Algebra zugeordnet wird, so daß gilt: Ein Ausdruck des Prädikatenkalküls ist allgemeingültig dann und nur dann, wenn wenigstens einer der zugeordneten Ausdrücke dem 1-Element der Booleschen Algebra äquivalent ist. Da es für eine beliebig vorgegebene Menge von Ausdrücken einer Booleschen Algebra kein generelles Entscheidungsverfahren dafür gibt, daß wenigstens einer dieser Ausdrücke dem 1-Element äquivalent ist, so ist damit -- wie Verf. selbst feststellt -- keineswegs ein Entscheidungsverfahren für den Prädikatenkalkül der ersten Stufe gegeben. -Wegen einer wesentlichen Korrektur zur vorliegenden Arbeit vgl. die nachfolgend besprochene Note.