Über das Maximum der Abweichung des theoretischen Verteilungsgesetzes von der entsprechenden empirischen Kurve. (Q5922630)

Es sei \(F_n(x)\) eine aus \(n\) Beobachtungen von \(x\) gewonnene empirische und \(F (x)\) die zugehörige theoretische Summenkurve. Ihre größte Abweichung voneinander sei \(D_n= \operatorname{max} |F_n(x)- F(x)|\). Die Wahrscheinlichkeit der Ungleichung \(D_n\leqq\dfrac\lambda{\sqrt n}\) sei \(\varPhi_n(\lambda)\). Verf. zeigt, daß für \(2\leqq\lambda\leqq\dfrac{\sqrt n}{10}\) (was für \(n\geqq400\) möglich ist) die folgende Un\-gleichung gilt: \[ \varPhi_n(\lambda)\geqq1-40\cdot\sqrt n\cdot e^{-2\lambda^2}. \] Weiter ergeben sich die dem verstärkten Gesetz der großen Zahlen analogen Sätze: 1) Bei konstantem \(\varepsilon\) ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Ungleichung \(D_n>\varepsilon\) auch nur für einen Wert \(n\) erfüllt ist, der eine gegebene Zahl \(N\) übersteigt, für hinreichend großes \(N\) beliebig klein. -- 2) Für \(\lambda_n=\left(\dfrac{\sqrt n}{2}+\varDelta\right)\cdot\sqrt{\log n}\), wo \(\varDelta\) eine wesentlich positive Zahl bedeutet, ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Ungleichung \(D_n>\dfrac{\sqrt n}{\lambda_n}\) auch nur für einen Wert \(n\) erfüllt ist, der eine gegebene Zahl \(N\) übersteigt, für hin\-reichend großes \(N\) beliebig klein.