Die Gruppe der Abbildungsklassen. (Das arithmetische Feld auf Flächen.) (Q5922642)

Unter ``Abbildungen'' sind im folgenden indicatrix-erhaltende topologische Abbildungen einer (geschlossenen oder berandeten) orientierbaren Fläche \(F\) auf sich zu verstehen. Zwei Abbildungen gehören zu derselben Klasse, wenn sie durch homotope Deformation ineinander übergeführt werden können. Gegenstand der Arbeit ist die Abbildungsklassengruppe (AKG) von \(F\). Bei berandetem \(F\) erhält man (falls nicht nur punktförmige Ränder vorhanden sind) verschiedene Klassenbegriffe, je nachdem, ob die zulässigen Deformationen die Randkurven als Ganzes oder punktweise fest lassen. Verf. unterscheidet drei AKG, nämlich 1) die Gruppe \(G_1\) aller Abbildungsklassen bei Deformationen mit beweglichen Rändern, 2) die Gruppe \(G_2\) der Klassen von Abbildungen, die jede Randkurve in sich überführen, bei Deformationen mit beweglichen Rändern, 3) die Gruppe \(G_3\) der Klassen von Abbildungen, die die Randkurven punktweise fest lassen, bei Deformationen mit punktweise festen Rändern. Der Untersuchung liegt der folgende Gedanke zugrunde: Jedes System von Kurven ohne Doppelpunkte und ohne gegenseitige Schnittpunkte (nur von solchen Kurven und Kurvensystemen ist im folgenden die Rede) läßt sich bis auf Homotopie durch ein System von ganzen Zahlen -- im wesentlichen die Anzahl der Systemkurven und die Schnittzahlen des Kurvensystems mit gewissen fest gewählten Kurven von \(F\) -- kennzeichnen. Die Gesamtheit dieser Zahlensysteme bildet das ``arithmetische Feld'' (a. F.) von \(F\). Jede Abbildungsklasse bildet eine Klasse von homotopen Kurvensystemen wieder auf eine Klasse von homotopen Kurvensystemen ab, bewirkt also eine Substitution, und zwar eine lineare Transformation im a. F., und die AKG ist einer Gruppe von linearen Transformationen des a. F. isomorph. Die Verbindung zwischen der AKG und dem a. F. wird durch spezielle Transformationen, ``Verschraubungen'' längs gewisser geschlossener Kurven, hergestellt. Eine einfache Verschraubung \(\varDelta_k\) längs der Kurve \(k\) besteht darin, daß ein von \(k\) und einer Nachbarkurve berandeter Streifen von \(F\) so auf sich abgebildet wird, daß die Ränder um einen Umlauf gegeneinander verdreht werden, während die Abbildung auf dem Rest von \(F\) die Identität ist. Einerseits läßt sich die Wirkung von Verschraubungen auf das a. F. leicht übersehen, andererseits besitzt -- das ist ein Teil des Endergebnisses der Arbeit -- die AKG von \(F\) ein endliches System von Erzeugenden, die durch je eine Verschraubung repräsentiert werden können. -- Am Beispiel der geschlossenen Fläche vom Geschlecht 2 hat Verf. seine Methode schon früher an wenig zugänglicher Stelle dargestellt (Autographierter Vortrag, gehalten im math. Colloquium in Breslau am 11.2.1922 ; vgl. auch \textit{R. Baer}, J. reine angew. Math. 156 (1927), 231-246, 160 (1929), 1-25; F. d. M. 53, 547 (JFM 53.0547.*); 55\(_{\text{II}}\), 970). Im einzelnen hat die breit angelegte, auch manches Bekannte wiederholende Arbeit folgenden Inhalt: I. Einfache Ergebnisse, ohne Benutzung des a. F. Es bezeichnet \(L_n\) die \(n\)-mal gelochte Kugel, \(R^p\) die geschlossene Fläche vom Geschlecht \(p\), \(R_n^p\) die \(n\)-mal gelochte \(R^p\). Für \(L_1\) ist \(G_1= G_2 = G_3 = E\) (die nur aus dem Einselement bestehende Gruppe), für \(L_2\) ist \(G_1\) die Gruppe der Ordnung 2, \(G_2 = E\), \(G_3\) die freie Gruppe einer Erzeugenden der eine einfache Verschraubung längs einer Randkurve enthaltenden Abbildungsklasse. Für \(L_3\) ist \(G_1\) die symmetrische Gruppe der Vertauschungen der drei Ränder, \(G_2 = E\), \(G_3\) die freie Abelsche Gruppe von drei Erzeugenden, die durch einfache Verschraubungen längs der drei Randkurven repräsentiert werden. Die \(G_2\) der \(L_4\) enthält vom Einselement verschiedene Elemente; sie werden durch Verschraubungen \(\varDelta_a\), \(\varDelta_b\), \(\varDelta_c\) längs der drei Kurven \(a\), \(b\), \(c\), die die vier Randkurven zu je zwei paaren trennen, bestimmt. -- Zwischen den einfachen Verschraubungen \(\varDelta_a\), \(\varDelta_b\) der \(R^1\) längs der beiden Kurven \(a\), \(b\) eines kanonischen Schnittsystems bestehen die Relationen \((\varDelta_a\varDelta_b^{-1}\varDelta_a)^4 = 1\), \((\varDelta_b\varDelta_a^{-1}\varDelta_b)^4= 1\). Eine Abbildungsklasse von \(R^1\) ist bestimmt, wenn man die Abbildung der beiden \textit{orientierten} Kurven \(a\), \(b\) kennt. Die \(G_1=G_2\) der \(R_1^1\) stimmt mit der AKG von \(R^1\) überein. II. Die arithmetischen Felder spezieller Flächen. Wichtig sind die a. F. der \(L_2\) und \(L_3\), auf die die der übrigen Flächen durch Zerschneidung zurückgeführt werden. Ein Kurvensystem (KS) der \(L_2\) besteht (da zusammenziehbare Kurven vernachlässigt werden) entweder aus Verbindungen der beiden Ränder \(r_1\), \(r_2\) oder aus Parallelkurven zu den \(r_i\). Ein System von Randverbindungen ist bei beweglichen \(r_i\) bis auf Homotopie durch die Anzahl \(n\) der durch sie verbundenen Randpunktepaare bestimmt. Das a. F. besteht hier aus den nicht negativen ganzen Zahlen \(n\). (Parallelkurven zu den \(r_i\) werden, auch in den übrigen Fällen, bei beweglichen Rändern durch das a. F. nicht erfaßt.) Bei punktfesten Rändern ist neben \(n\) eine zweite Zahl zur Kennzeichnung des KS erforderlich: die algebraische Anzahl \(\delta\) der Schnittpunkte mit einer fest gewählten Randverbindung \(v\). Die ``algebraische Anzahl'' ist dabei in der Weise zu bestimmen, daß alle Randverbindungen in Richtung von \(r_1\) nach \(r_2\) durchlaufen werden. Das a. F. beschreibt also nur nicht orientierte Systeme von Randverbindungen (reicht aber trotzdem i. a. zur Untersuchung der AKG aus, weil genügend viele Kurven in einem Symbol erfaßt werden). Die Systeme von Parallelkurven zu den \(r_i\) lassen sich in das a. F. einordnen, wenn man sie einheitlich, d. h. so orientiert, das die orientierten Kurven eines Systems zueinander homotop sind: für sie ist \(n = 0\), \(\delta\) die durch die Orientierung festgelegte Schnittzahl mit \(v\), \(|\delta|\) die Anzahl der Systemkurven. Das a. F. besteht aus Zahlenpaaren \( \binom n \delta\) (\(n\), \(\delta\) ganz, \(n\geqq 0\)). Eine \(k\)-fache Verschraubung längs eines Randes (\(k\) ganz) führt \( \binom n \delta\) in \( \binom n{\delta+kn}\) über; die Gruppe dieser Transformationen (``Euklidische Algorithmen'') ist, bei festem \(n \neq 0\), einstufig isomorph der \(G_3\). -- Auf \(L_3\) ist ein System von Randverbindungen bei beweglichen Rändern \(r_i\) (\(i= 1\), 2, 3) bestimmt, wenn die Anzahlen \(n_i\) ihrer Endpunkte auf den \(r_i\) bekannt sind. Ein solches System zerfällt in höchstens drei ``Abteilungen'', die je aus zueinander homotopen Kurven bestehen. Ist nämlich für jede Permutation \(i\), \(k\), \(l\) von 1, 2, 3 \(n_i\leqq n_k+n_i\), so gibt es keine Selbstverbindungen von \(r_1\), \(r_2\), \(r_3\), und die Anzahl der Verbindungen von \(r_k\) mit \(r_i\) ist \(\frac 12(n_k+n_l-n_i)\). Ist aber \(n_i> n_k+n_l\), so gibt es \(\frac 12(n_i-n_k-n_l)\) \(r_k\) von \(r_i\) trennende Selbstverbindungen von \(r_i\), daher keine gegenseitigen oder Selbstverbindungen von \(r_k\) und \(r_l\), aber \(n_k\) bzw. \(n_l\) Verbindungen von \(r_i\) mit \(r_k\) bzw. \(r_l\). Das a. F. besteht aus den Zahlentripeln \((n_1, n_2, n_3)\), \(n_i\geqq 0\). Bei punktfesten Rändern kommen drei Schnittzahlen \(\delta_i\), mit festen Randverbindungen \(v_{ik}\) (\(i\), \(k = 1\), 2, 3, \(i\neq k\)) hinzu; sie werden folgendermaßen bestimmt: \(L_3\) wird durch je eine Parallelkurve zu den \(r_i\) in \(L_3'\) und drei \(L_2\) zerlegt. Durch Deformation kann man erreichen, daß das KS auf \(L_3'\) in vorgeschriebener Weise verläuft, ohne die \(v_{ik}\) zu schneiden. \(\delta_i\) bezeichnet die Schnittzahl des KS mit \(v_{ik}\) und \(v_{il}\) innerhalb der an \(r_i\) angrenzenden \(L_2\). Das a. F. besteht aus den Zahlensystemen \( \begin{pmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \\ \delta_1 & \delta_2 & \delta_3\end{pmatrix}\) (\(n_i\), \(\delta_i\) ganz, \(n_i \geqq 0\)), wobei, wie im Falle der \(L_2\), die Werte \(n_i=0\), \(\delta_i \neq 0\) den Parallelkurven zu \(r_i\) zugeordnet werden. Wie im Falle der beweglichen Ränder enthält ein KS höchstens drei Abteilungen. Durch \(k_i\)-fache Schraubung längs \(r_i\) geht \( \begin{pmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \\ \delta_1 & \delta_2 & \delta_3\end{pmatrix}\) in \( \begin{pmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \\ \delta_1 +k_1n_1& \delta_2 + k_2n_2 & \delta_3+k_3n_3 \end{pmatrix}\) über. \(R^1\) und \(R_1^1\) werden durch zwei Parallelkurven zu \(a\) (vgl. I.) in zwei \(L_2\) bzw. eine \(L_3\) und eine \(L_2\) zerlegt. Durch Deformation läßt sich erreichen, daß die Kurven des KS auf einer \(L_2\) bzw. auf der \(L_3\) einen vorgeschriebenen Verlauf haben und \(b\) nicht bzw., soweit es sich um Selbstverbindungen des Randes \(r\) von \(R_1^1\) innerhalb \(L_3\) handelt, je genau einmal schneiden. Das a. F. ist dann im wesentlichen das Feld \( \binom n \delta\) der anderen \(L_2\), wozu für \(R_1^1\) bei beweglichem \(r\) noch eine Zahl \(q \geqq 0\), die halbe Anzahl der Endpunkte des Kurvensystems auf \(r\), kommt: \( \left( \begin{matrix} n \\ \delta \end{matrix} q\right)\). (Das a. F. von \(R_1^1\) bei punktfestem \(r\) wird nicht aufgestellt.) Die Transformation \(\varDelta_a\varDelta_b^{-1}\varDelta_a\), die \(a\) in \(b^{-1}\), \(b\) in \(a\) überführt, erlaubt es, in gewissem Sinne die Rollen von \(n\) und \(\delta\) zu vertauschen. (Diese ``Koordinatentransformation'' ist auch in komplizierteren Fällen nützlich.) Eine Besonderheit von \(R^1\) und \(R_1^1\), die sich auf Flächen höheren Geschlechts nicht überträgt, ist es, daß man hier durch einheitliche Orientierung der KS \(n\) ein Vorzeichen beilegen und damit die Symmetrie zwischen \(n\) und \(\delta\) bei Koordinatentransformation vollständig machen kann. Die Wirkung der AKG auf das a. F. wird ausführlich untersucht. Für \(R^1\) ergibt sich die bekannte Isomorphie der AKG mit der homogenen Modulgruppe, für \(R_1^1\) die Isomorphie von \(G_3\) mit der Gruppe der Kleeblattschlinge. Auf der \(L_4\) werden zunächst nur aus geschlossenen Kurven bestehende KS untersucht. Zerschneidet man \(L_4\) durch zwei Parallelkurven zu \(a\) (vgl. I) in zwei \(L_3\) und eine \(L_2\), so kann man durch Deformation vorgeschriebenen Verlauf des KS auf beiden \(L_3\) erreichen. Für das a. F. (das bei Beschränkung auf geschlossene Kurven für bewegliche und punktfeste Ränder dasselbe ist) bleibt das Feld \( \binom n\delta\) der \(L_2\). Entsprechend erhält man für KS, die nur auf einer bestimmten Randkurve Endpunkte haben, bei beweglichen \(r_i\) ein Feld \( \left(\begin{matrix} n \\ \delta \end{matrix} q\right)\), wobei \(q\) die Anzahl der Selbstverbindungen des Randes angibt. Parallelkurven zu den \(r_i\) sind in dieser Darstellung nicht mit enthalten. Auch hier kann man für \(n\) durch einheitliche Orientierung des KS ein Vorzeichen festlegen. \(\varDelta_a\) läßt \(n\) ungeändert und ersetzt \(\delta\) durch \(\delta + 2n\) (``gerade Euklidische Algorithmen''), Koordinatentransformation ersetzt \(n\) durch (sign \(n)\delta\) und \(\delta\) durch (sign \(\delta)n\). Neben Aussagen über durch Abbildungen der \(G_2\) erreichbare Normalformen von geschlossenen KS ergibt sich: \(\varDelta_a\) und \(\varDelta_b\) erzeugen Repräsentanten jedes Elements von \(G_2\). Für die \(G_3\) wird die Relation \(\varDelta_c\varDelta_b\varDelta_a= \varDelta_{r_1}\varDelta_{r_2}\varDelta_{r_3}\varDelta_{r_4}\) (\(\varDelta_{r_i}\) Verschraubungen längs \(r_i\)) abgeleitet. -- In ähnlicher Weise wird die \(L_5\) behandelt. Hier wird nur das a. F. der geschlossenen KS benutzt. Das Hauptergebnis ist: Die \(G_2\) läßt sich erzeugen durch Verschraubungen längs fünf Kurven \(a_{i,i+1}\), die je zwei Randkurven \(r_i\), \(r_{i+1}\) (\(i\) mod 5) von den drei anderen trennen. Die \(G_2\) ist isomorph einer Gruppe von miteinander gekoppelten geraden Euklidischen Algorithmen, angewandt auf zwei Symbole \( \left(\begin{matrix} n \\ \delta \end{matrix} m\right)\), \( \left(\begin{matrix} m \\ \varepsilon \end{matrix} n\right)\). III. Folgerungen. Schon bei der \(L_4\) und \(L_5\) ist das a. F. nicht mehr voll ausgenutzt worden. Die folgenden Sätze ergeben sich, ohne daß das a. F. explizite benutzt würde, durch passende Zerschneidungen aus den Resultaten von II: 1) Die Verschraubung von \(R_2^1\) längs eines Randes wird erzeugt von Verschraubungen längs des anderen Randes und die Fläche nicht zerstückelnder Kurven. 2) Auf \(R^p\) und \(R_1^p\) läßt sich jede Verschraubung längs einer die Fläche zerstückelnden Kurve erzeugen durch Verschraubungen längs die Fläche nicht zerstückelnder Kurven. 3) Die \(G_3\) der \(L_n\) wird erzeugt durch Verschraubungen längs \(\frac 12 n(n-1)\) Kurven, deren jede zwei Ränder von den übrigen trennt; für die \(G_2\) vermindert sich die Anzahl der Erzeugenden um \(n(n\geqq 3)\). 4) Die \(G_3\) einer \(R_n^p\) läßt sich erzeugen durch Verschraubungen längs einer endlichen Anzahl von Kurven; für die \(R^p\) ist diese Anzahl \(2p(p-1)\).