Sulla geometria dell' \(S_r\) biduale proiettivo. (Q5922649)

Über dem komplexen Körper betrachten wir die kommutative Algebra vom Range zwei, mit Einselement und mit den Multiplikationsregeln: \[ u^2 = u, \quad u\varepsilon = \varepsilon u = \varepsilon, \quad \varepsilon^2 = 0. \] Es handelt sich also um das System der sogenannten bidualen Zahlen. Eine biduale Zahl hat die Form \(xu + y\varepsilon\), wo \(x\), \(y\) irgend welche komplexe Zahlen sind. Die Nullteiler der Algebra sind die Zahlen der Form \(y\varepsilon\), wo \(y\) irgendeine komplexe, von Null verschiedene Zahl ist. Die Null der Algebra erhält man, wenn \(x = y = 0\) ist. Verf. betrachtet die Gesamtheit aller \((r+1)\)-tupel \((z_1, z_2, \ldots, z_{r+1})\) von bidualen Zahlen, die nicht alle Null oder Nullteiler sind. Alle \((r+1)\)-tupel, die sich nur um einen Proportionalitätsfaktor unterscheiden, der nicht Null oder Nullteiler sein darf, definieren einen ``Punkt''; die Gesamtheit aller Punkte definiert einen ``projektiv-bidualen Raum'' \(S_r\). Allgemeiner ist ein projektiv-bidualer Raum jede Gesamtheit von Elementen, die auf \(S_r\) eineindeutig und ohne Ausnahme abgebildet werden kann. Ist nun \(z_i=x_iu+y_i\varepsilon\), und multipliziert man die Koordinaten eines Punktes mit einem Nullteiler, so erhält man die bis auf einen komplexen (von Null verschiedenen) Proportionalitätsfaktor definierten \((r+1)\)-tupel (\(x_1\varepsilon\), \(x_2\varepsilon\), \dots, \(x_{r+1}\varepsilon\)). Ein solches \((r+1)\)-tupel, das aus lauter Nullteilern besteht, ist ein ideales Gebilde, das Verf. ``Bipunkt'' nennt. Jeder Punkt von \(S_r\) bestimmt einen Bipunkt, aber nicht umgekehrt. Seien \(z_i=x_iu+y_i\varepsilon\) (\(i=1\), 2, \dots, \(r +1\)) \(r+1\) duale Zahlen, die nicht alle Null sind. In einem projektiv-komplexen Raume \(\sum_{2r+1}\), wo \(\xi_1\), \(\xi_2\), \dots, \(\xi_{2r+2}\) projektive Koordinaten sind, ordnen wir den \(r+1\) Zahlen \(z_i\) den Punkt: \[ \xi_{2s+1}=x_{s+1}, \quad \xi_{2s+2}=y_{s+1} \quad (s = 0, 1, 2, \ldots, r) \tag{1} \] zu. Einem Punkte \(Z\) von \(S_r\) entspricht dann die Gerade \(t\), die den Punkt (1) mit dem Punkte \[ \xi_{2s+1}=0, \quad \xi_{2s+2}=x_{s+1} \quad (s = 0, 1, 2, \ldots, r) \tag{2} \] verbindet (mit Ausnahme des Punktes (2)); dem Bipunkte, der von \(Z\) bestimmt ist, entspricht der Punkt (2), das heißt der Punkt, in dem die Gerade \(t\) den Raum \(\sum_r=\alpha\), mit den Gleichungen \(\xi_{2s+1}= 0\) (\(s=0,1,2,\ldots, r\)), schneidet. Den Punkten von \(S_r\), die den gleichen Bipunkt bestimmen, entsprechen die Geraden des \(\sum_{r+1}\) mit den Gleichungen: \[ \xi_1: x_1 = \xi_3:x_2 = \xi_5:x_3 = \cdots = \xi_{2r+1}:x_r, \tag{3} \] die durch den Punkt (2) gehen und nicht in \(\alpha\) fallen. Dieser Geradenstern im \(\sum_{r+1}\) hat also die Struktur eines \(r\)-dimensionalen komplex-euklidischen Raumes. Zwischen dem Punkt (2), der den ganzen Raum \(\alpha\) durchläuft, und dem Raum \(\sum_{r+1}\) (3), der die Gesamtheit der \(\sum_{r+1}\) durch \(\alpha\) durchläuft, gibt es eine projektive Korrespondenz. Man erhält so eine Abbildung des projektiv-bidualen \(S_r\) auf einen projektiv-komplexen \(\sum_{2r+1}\). In dieser Abbildung entsprechen den Punkten von \(S_r\) die Geraden eines Geradenkomplexes \(\varGamma\); die Gesamtheit der Geraden von \(\varGamma\) ist \(\infty^{2r}\), so daß der Raum \(S_r\) die biduale Dimension \(r\), aber die komplexe Dimension \(2r\) hat; weiter besteht der Raum \(S_r\) aus \(\infty^r\) \(r\)-dimensionalen komplex-euklidischen Räumen. Die letztgenannte Abbildung erlaubt mit Leichtigkeit die Untersuchung der Geometrie des komplex-bidualen Raumes \(S_r\). Wenn man eine Form der Ordnung \(n\) in den. \(r + 1\) bidualen Veränderlichen gleich Null setzt, so erhält man eine Mannigfaltigkeit mit der bidualen Dimension \(r-1\). Sind die (von Null verschiedenen) Koeffizienten der Form nicht sämtlich Nullteiler, so hat man eine algebraische Hyperfläche der Ordnung \(n\) in \(S_r\) mit der komplexen Dimension \(2r-2\); sind aber alle Koeffizienten Null oder Nullteiler, so hat man eine algebraische Bihyperfläche, die die komplexe Dimension \(2r - 1\) hat. Ahnliche Definitionen und Eigenschaften gelten auch für algebraische Mannigfaltigkeiten oder Bimannigfaltigkeiten, die durch Nullsetzen von mehreren Formen erhalten werden. Eine algebraische Mannigfaltigkeit des \(S_r\) kann singuläre Punkte besitzen, die analog den Singularitäten im projektivkomplexen Raume sind; es gibt aber auch andere Möglichkeiten. Sind zum Beispiel in einem Punkte einer Hyperfläche nicht sämtliche partielle Derivierten erster Ordnung Null oder Nullteiler, so heißt der Punkt einfach; sind alle Derivierten Null, so handelt es sich um einen Doppelpunkt; es kann aber vorkommen, daß sämtliche partielle Derivierten erster Ordnung Null oder Nullteiler sind, dann heißt der Punkt bi-einfach. Analog spricht man von einem bi-\(s\)-fachen Punkt, und Verf. charakterisiert die geometrische Deutung solcher Singularitäten. Betrachtet man im \(\sum_{2r+1}\) eine algebraische Mannigfaltigkeit, die aus Geraden des Komplexes \(\varGamma\) besteht, so entspricht im allgemeinen dieser Mannigfaltigkeit keine algebraische Mannigfaltigkeit des \(S_r\), die durch Nullsetzen von Formen in den \(r+1\) bidualen Veränderlichen erhalten werden könnte; eine solche Mannigfaltigkeit in \(S_r\) heißt hyperalgebraisch. Für eine hyperalgebraische Mannigfaltigkeit definiert Verf. fünf projektive Invarianten. Weiter findet man unter anderem, daß es für eine Hyperfläche des projektiv-bidualen Raumes \(S_r\) eine algebraische und eine hyperalgebraische Reduzibilität gibt, die völlig getrennt betrachtet werden müssen. Endlich werden die Kegelschnitte und Bikegelschnitte in einem projektiv-komplexen Sa studiert.