Singularities of composite functions in several variables. (Q5922698)

Es wird eine Verallgemeinerung des bekannten \textit{Hadamard}schen Multiplikations\-satzes auf Funktionen von mehreren Veränderlichen gegeben. Sie lautet für den ein\-fachsten Fall, in dem es sich um die Komposition zweier Potenzreihen von je einer Veränderlichen handelt: Sind \[ a(x)={\sum\limits_{0}^{\infty}}a_nx^n,\quad b(y)={\sum\limits_{0}^{\infty}}b_ny^n \] in der Umgebung von \(x = 0\) bzw. \(y = 0\) konvergent, so ist \[ \pi (x, y) ={\sum\limits_{0}^{\infty}}a_nx^n\cdot b_ny^n \] für jedes Zahlenpaar \(x_0\), \(y_0\) analytisch längs der Strecke \[ (\varrho x_0,\varrho y_0)\quad\text{mit}\quad 0\leqq\varrho^2<\operatornamewithlimits{fin\,inf}_{0\leqq\vartheta<2\pi} \{\xi_\vartheta(x_0)\cdot\eta_{-\vartheta}(y_0)\}, \] wobei \(\xi_\varphi(x_0)e^{i\varphi}\), \(\eta_\varphi(y_0)e^{i\varphi}\) die Ecken der Hauptsterne der Funktionen \(a(x_0z)\), \(b(y_0z)\) (aufgefaßt als Funktionen von \(z\)) bedeuten. Eine entsprechende Verallgemeinerung erfährt der \textit{Hurwitz}sche Satz (C. R. Acad. Sci., Paris, 128 (1899), 350-353; F. d. M. 30, 362 (JFM 30.0362.*)) über die Komposition von Potenzreihen. Beide Sätze werden durch ein Beispiel illustriert.