On certain inequalities and characteristic value problems for analytic functions and for functions of two variables. (Q5922717)

Über einem beschränkten, offenen Bereich \(D\) der \(z = (x + iy)\)-Ebene mit stückweise glattem Rand und endlichvielen Ecken wird die Gesamtheit \(\mathfrak F\) aller analytischen Funktionen \(w(z) = u + iv\) betrachtet, für die \[ {\textstyle \iint\limits_D} | w |^2\,dx\,dy \] endlich ist; erfüllt \(w (z)\) die zusätzliche Bedingung \[ {\textstyle \iint\limits_D} w\,dx\,dy = 0, \] so gilt die fundamentale Ungleichung: \[ \left|{\textstyle \iint\limits_D} w^2\,dx\,dy\right| \leqq\theta\cdot {\textstyle \iint\limits_D} |w|^2\,dx\,dy, \] in der \(\theta < 1\) eine Bereichkonstante ist; sie ist in den konjugierten Potentialfunktionen \(u\), \(v\) gleichbedeutend mit \[ {\textstyle \iint\limits_D} u^2\,dx\,dy \leqq \varGamma\cdot {\textstyle \iint\limits_D} v^2\,dx\,dy\qquad (\varGamma=\text{const.} > 1) \] unter der Bedingung \[ {\textstyle \iint\limits_D} u\,dx\,dy = 0. \] In dem \textit{Hilbert}schen Raum \(\mathfrak F\) gibt es, wenn der Rand von \(B\) keine Ecken, sondern höchstens einspringende Spitzen besitzt, orthonormale Eigenfunktionen \(w_\nu (z)\) (\(\nu = 1,\, 2,\,\ldots,\, \infty\)), für die \[ {\textstyle \iint\limits_D} \overline w_nw_m\,dx\,dy = \begin{cases} 1, &n=m\\ 0, &n\neq m,\end{cases} \] mid eine absteigende Folge nichtnegativer zugehöriger Eigenwerte \(\mu_\nu\), so daß für jede Funktion \(w (z)\) aus \(\mathfrak F\) gilt \[ {\textstyle \iint\limits_D} w_n w \,dx\,dy = \mu_n {\textstyle \iint\limits_D} \overline w_nw\,dx\,dy = \mu_nc_n. \] Im Innern von \(D\) gilt die gleichmäßig konvergente Entwicklung \[ w(z)=\sum c_\nu w_\nu(z),\quad {\textstyle \iint\limits_D} |w|^2\,dx\,dy = \sum |c_\nu|^2,\quad {\textstyle \iint\limits_D} w^2\,dx\,dy = \sum \mu_\nu c_\nu^2; \] dabei ist \(\mu_1 = 1\), \(\mu_2 < 1\). Für \(D = \text{Kreis}\) oder Ellipse werden die \(\mu_\nu\) und \(w_\nu(z)\) explizit berechnet. Bei Vorliegen von Ecken gilt der Entwicklungssatz nicht. Nunmehr folgt Anwendung und Übertragung dieser Ergebnisse auf die Gesamtheit derjenigen komplexwertigen Funktionen \(k (x, y)\), für die \[ (k\mid k)=\frac12\iint\limits_D \left\{ \left|\frac{\partial k}{\partial x}\right|^2+\left|\frac{\partial k}{\partial y}\right|^2\right\}\,dx\,dy \] endlich ist. Es gibt dann eine nur von \(D\) abhängende positive Konstante \(\sigma\), so daß mit \(z = x + iy\) die Ungleichung \[ \sigma\cdot (k \mid k) \leqq\iint\limits_D\left(\Re\frac{\partial k}{\partial z}\right)^2\,dx\,dy + \iint\limits_D \left|\frac{\partial k}{\partial z}\right|^2\,dx\,dy \] gilt, falls \[ \Im\iint\limits_D \frac{\partial k}{\partial z}\,dx\,dy=0 \] ist. Diese Ungleichung ist für die Theorie der Schwingungen einer elastischen Platte von grundlegender Bedeutung.