Alcuni teoremi di unicità nel calcolo delle variazioni. (Q5922757)

Verf. formuliert zunächst einige Eindeutigkeits- und Existenzsätze für das einfachste Variationsproblem in Parameterdarstellung. Da sie inhaltlich ein wenig von der üblichen Formulierung abweichen, seien sie hier kurz charakterisiert. Satz I ist ein Eindeutigkeitssatz, der für regulär-positive Probleme (\(F_1 > 0\) in der ganzen Ebene) die Existenz höchstens einer das Minimum von \(J\) liefernden Kurve zwischen zwei beliebigen festen Punkten behauptet, wenn in jedem beschränkten Teil der Ebene \(J\) mit der Bogenlänge gegen \(+ \infty\) strebt und keine konjugierten Punkte existieren. Satz II behauptet die Existenz der das Minimum liefernden Kurve zwischen \(P\) und \(Q\), wenn über die Voraussetzungen von I hinaus noch gilt, daß \(J\) für alle in \(P\) beginnenden Kurven mit dem Durchmesser der Kurve gegen \(+ \infty\) strebt. Letztere Bedingung ist z. B. erfüllt, wenn für genügend große \(x^2 + y^2\): \[ F \,(x, \,y, \,x', \,y') \geqq \frac{\mu}{\sqrt{x^2 + y^2}} \qquad (\mu > 0). \] Satz III behauptet das gleiche wie Satz II, wenn in der Zusatzvoraussetzung nur die von \(P\) ausgehenden Extremalen und statt des Durchmessers die Bogenlänge betrachtet werden. Es gelingt nun Verf., den wesentlichen Inhalt der Sätze I und II auf das folgende \textit{Mayer}sche Problem zu übertragen: \[ u=u_0 + \int\limits_{0}^{s} F \,(x, \,y, \,x', \,y', \,u) \, ds. \] Hier sind \(u_0\), \(x_0\), \(y_0\); \(x_1\), \(y_1\) gegeben, \(u_1\) soll Minimum werden. \(F\) genügt bei konstantem und zwar beliebigem \(u\) den beim einfachsten Problem üblichen Voraussetzungen. Es wird ferner der Fall betrachtet, daß die Werte von \(u\) durch \(u < \beta\) eingeschränkt sind; auch hier lassen sich Eindeutigkeits- und Existenzsätze aufstellen. Weiter erfolgt die Übertragung der gewonnenen Ergebnisse auf das \textit{Mayer}-Problem mit \(x\) als unabhängiger Variablen und endlich die Übertragung gewisser Sätze von \textit{S. Bernstein} (Ann. sci. Ecole norm. sup. (3) 29 (1912), 431-485; F.~d.~M. 43, 460) auf das behandelte \textit{Mayer}sche und ein spezielles \textit{Lagrange}sches Problem.