Zur Theorie der Markoffschen Ketten. (Q5922764)

Untersucht werden die folgenden beiden Fragen: (1) Gibt es einen hinsichtlich der Zeit \(t\) stetigen und homogenen \textit{Markoff}schen Prozeß mit endlich vielen Zuständen derart, daß seine Übergangswahrscheinlichkeiten für ganzzahlige \(t\) mit denjenigen einer vorgegebenen \textit{Markoff}schen Kette (Prozeß mit diskreter Zeit) übereinstimmen? Es zeigt sich, daß diese Interpolationsaufgabe keine, eine einzige oder endlich viele Lösungen haben kann. Es werden einige Interpolationskriterien angegeben. (2) Gegeben sind die Übergangswahrscheinlichkeiten einer \textit{Markoff}schen Kette oder eines stetigen \textit{Markoff}schen Prozesses. Läßt sich, wenn eine absolute Wahrscheinlichkeits\-verteilung \(q_i^{(0)}\) im Zeitpunkt \(t_0\) gegeben ist, der Prozeß unbeschränkt rückwärts fortsetzen? Das ist nicht der Fall; es gibt vielmehr eine Zahl \(\tau\) \((0 \leqq \tau \leqq \infty)\), das \textit{Alter} der Verteilung, mit der folgenden Eigenschaft: Zu jedem \(t \leqq \tau\) gibt es eine Verteilung \(q_i^{(-t)}\), die, dem gegebenen Prozeß unterworfen, nach Ablauf der Zeit \(t\) die Verteilung \(q_i^{(0)}\) liefert; für \(t > \tau\) gibt es keine solche Verteilung. Für den Fall \(\tau = \infty\) werden notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben.